ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные и главные колебания системы под действием потенциальных сил из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Полученные отсюда амплитуды будем обозначать С и называть амплитудами, принадлежащими собственному значению Я . [c.272] Соответственно для систем с идеальными голбномными связями и консервативными потенциальными силами всегда можно ввести главные координаты. [c.276] В заключение остановимся на случаях кратных и нулевых корней характеристического уравнения. Если некоторый корень этого уравнения является кратным, то в качестве общего рещения следует опять-таки взять рещение вида (6.47). Однако в этом случае коэффициенты АГ, соответствующие кратному корню, не являются алгебраическими дополнениями характеристического детер- минанта и должны быть определены из уравнений (6.38). Нужно также иметь в виду, что кратному корню соответствуют главные колебания, одинаковые по частоте, но различные в общем случае по амплитуде и фазе (см. пример 6.9). [c.276] Пример 6.7. Плоские колебания материальной точки, подвешенной на пружине. [c.276] Пример 6.8. Колебания системы двух точек на горизонтальном стержне. [c.277] Две точки одинаковой массы т находятся. на неподвижном гладком и горизонтальном стержне длины За. Эти точки соединены друг с другом и с концами стержня тремя пружинами, подчиненными закону Гука (жесткость каждой из пружин и длина в ненапряженном состоянии соответственно равны х и а). Найти закон движения системы вблизи ее положения устойчивого равновесия. [c.277] Потенциальная энергия U системы слагается из энергии упругой деформации всех пружин, т. е. [c.277] Эти колебания можно осуществить, задавая симметричные и антисимметричные начальные условия (см. предыдущий пример). [c.280] Отсюда видно, что V обращается в нуль не только в некотором фиксированном положении Хгщ—Xleq=a, но и в любом другом положении,, соответствующем требованию Х2—Х1=а. Следовательно, и не имеет изолированного минимума в положении лгаед— —х 1=а. Несмотря на это, применим метод решения, изложенный в настоящем параграфе (оправданность этого шага будет видна в дальнейшем). [c.281] Колебания первого и второго атомов совершаются в противофазе с отношением амплитуд, равным т т.1. [c.283] Пример 6.11. Продольные колебания линейной трехатомной симметричной молекулы. [c.283] Решая задачу в произвольной инерциальной системе отсчета, мы, так же как и в предыдущем примере, получим нулевую частоту, связанную с поступательным движением молекулы как целого. Однако проще с самого начала исключить эту частоту и рассматривать колебания молекулы в системе ее центра масс. [c.283] Пример 6.12. Теплоемкость кристалла. [c.285] При сравнительно невысоких температурах атомы кристалла совершают линейные колебания около узлов кристаллической решетки, т. е. около положений устойчивого равновесия. Поэтому энергия атомов кристалла будет равна (см. (6.32) и (6.33)). [c.285] Больцмана — имеет размерность энергии, деленной на градус).. Тогда средняя энергия кристалла запишется в виде Е = ЗкЫТ, а теплоемкость с кристалла, т. е. отношение приращения средней энергии к приращению температуры, будет равна с=ЗкЫ (закон Дюлонга — Пти). [c.286] Мнимая часть формы Г(С, С) равна нулю в силу симметрии коэффициентов ajk и антисимметрии множителей ирь—Действительная часть той же формы равна сумме билинейных форм от вещественных амплитуд а и с , т. е. [c.287] Если хотя бы один из коэффициентов и или V отличен от нуля (а нас инте13е-сует именно такой случай нетривиального решения), то Г (С, С) 0. Аналогично найдем, что У (С, С) 0. Таким образом, из соотношения (2) действительно вытекает свойство (6.40). [c.287] Приложение .2, У равнения Лагранжа в главных координатах. [c.287] Вернуться к основной статье