ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Собственные одномерные колебания из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Точечные преобразования независимых координат включают в себя ряд важных случаев например, для свободных систем точечные преобразования могут представлять собой преобразования между различными криволинейными координатами в данной системе отсчета, а также преобразования между координатами в различных системах отсчета, в том числе и в неинерциальных. [c.248] Пример 5Л2. Преобразование лагранжиана свободной точки. [c.250] Свободная точка массы т движется в центрально-симметричном поле С/(г) с центром силы в начале координат О. Найти функцию Лагранжа этой точки относительно системы отсчета 5, начало которой О и ось О г совпадают соответственно с началом О и осью Ог инерциальной системы отсчета 5, предполагая, что система vS вращается относительно 5 с постоянной угловой скоростью со. [c.250] Нетрудно видеть, что в данном случае функция Н является полной энергией точки относительно неинерциальной системы отсчета (см. (4.86)). [c.251] Отсюда следует, что относиагельно неинерциальной системы 5 точка движется так же, как математический маятник в однородном поле тяжести двил ется относительно инерциальной системы 5. [c.251] Здесь та ф2/2 — кинетическая энергия точки относительно 5, а —та собф — потенциальная энергия точки в поле переносной силы инерции —ту/о - Что касается центробежной силы инерции, равной тш г , то она не совершает работы на пepe eщe-ниях точки относительно 5 и поэтому не дает вклада в Яо. Таким образом, функция Н является полной энергией Е точки относительно 5 (см. (4.86)). [c.252] В этой главе изучается движение механической системы с достаточно малыми скоростями в достаточно малой пространственной области около положений равновесия точек системы. Если при этом диссипативные силы малы, то система будет совершать, как говорят, малые колебания если же дисс41пативные силы значительны, то будет иметь место апериодическое движение. Теория малых колебаний широко применяется для изучения как механических, так и немеханических систем. Например, с помощью этой теории можно описать колебания математического маятника и колебания напряжения в электрическом контуре. Поэтому излагаемая ниже теория играет большую роль в различных областях физики. [c.253] Отсюда следует, что потенциальная энергия в положении равновесия должна обладать экстремумом, т. е. [c.254] Это уравнение определяет положения равновесия системы. [c.254] В справедливости этого утверждения можно убедиться с помощью закона изменения энергии (доказательство признака устойчивости системы в общем случае см. в 6.2). [c.254] Уравнение (6.6) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если коэффициент fell равен нулю или сравнительно мал, то это уравнение описывает колебания системы, называемые линейными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравнения (6.6), но и к его однородности поэтому описываемые этим уравнением колебания называют собственными (или свободными). [c.255] Решение (6.17) или (6.16) описывает затухающее гармоническое колебание системы. Величина мнимой части X называется собственной частотой колебаний и, а величина действительной части X называется коэффициентом затухания ц. [c.257] Из решений (6.17) и (6.19) видно, что в линейной теории собственные частоты и коэффициенты затухания не зависят от начальных условий. Отметим еще две характерные черты линейной теории малых колебаний в решении (6-.17) отсутствуют обертоны , г. е. частоты, кратные собственной частоте кроме того, в силу линейности уравнения (6.6) его обидев решение является суммой частных решений, т. е. имеет место, как говорят, принцип суперпозиции. [c.257] Пример 6.1. Движение точки по эллипсу в среде с линейным сопротивлением вблизи положения устойчивого равновесия. [c.258] Точка массы пг движется по гладкому эллипсу в среде с сопротивлением. Полуоси эллипса равны соответственно а и Ь, причем первая полуось направлена по вертикали (рис. 6.2). Найти собственную частоту и коэффициент затухания линейных колебаний точки. [c.258] Пример 6.2. Колебания тонки по наклонному эллипсу. [c.260] Точка массы т движется по гладкому эллипсу с полуосями, равными а и Ь, Плоскость эллипса вертикальна, а полуось а отклонена от вертикали на угол фо. Найти собственную частоту линейных колебаний точки (сопротивлением среды пренебречь). [c.260] Точка массы т, движущаяся iio гладкому горизонтальному стержню, соединена пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на расстоянии I от стержня. [c.261] Найти частоту линейных колебаний точки (жесткость и длина пружины в ненапряженном состоянии соответственно равны X и а, см. (1.42)) пружина навита на гладкий стержень, шарнирно закрепленный в точке О). [c.261] Вернуться к основной статье