ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики циклические координаты и симметрия силового поля и связей из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Представляют собой уравнения движения в произвольных криволинейных координатах (см. пример 5.7 на с. 227—228 и [15]). [c.215] Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины I и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебрегается). [c.215] применяя к этому уравнению последующую процедуру метода неопределенных множителей, изложенного на с. 206, придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким образом, система, состоящая из уравнения (5.27) и уравнений связей (5.10), эквивалентна системе (5.18). Более того, можно утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движения с реакциями любых идеальных связей эквивалентны. . [c.217] Прежде чем продолжить вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые ЗМ—к величины, однозначно определяюи ие положение системы Кик — числа точек системы и голономных связей соответственно). Число независимых обобщенных координат, равное 5 = ЗЛ —к, в случае систем с голономными связями называется числом степеней свободы. Независимые обобщенные координаты будем обозначать 7ь 2, а всю эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать символом q. [c.217] Из определения независимых координат следует, что они должны удовлетворять двум требованиям. [c.217] Обратим внимание на то, что в случае стационарных связеЗ уравнения связей явно от времени не зависят поэтому и функции (5.28) можно подобрать явно не зависящими от времени. В дальнейшем это условие для стационарных связей будем считать выполненным. [c.218] Ввиду важности понятий о независимых обобщенных координатах и числе степеней свободы рассмотрим несколько примеров. [c.218] Таким образом, в качестве независимой координаты можно выбрать параметр а, а число s степеней свободы в этом случае равно единице. [c.218] Следовательно, величина Qj. играет по отношению к вариации 8д независимой координаты ту же роль, которую сила Рг играет по отношению к виртуальному перемещению бГг точки. Поэтому величину называют обобщенной силой, соответствующей координате д . Размерность обобщенной силы Qj равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей координаты 7j. [c.221] Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей (5.18), справедливы для систем с голономными идеальными связями. [c.221] Подчеркнем, что рациональный выбор независимых координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа и т-ем самым облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразличным, в каком виде они представлены с самого начала пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование [6, т. I, с. 403]. Действительно, пусть обобщенная координата qj выбрана так, что кинетическая энергия Т явно не зависит от нее, а соответствующая этой координате обобщенная сила Qj равна нулю, т. е. [c.222] Координаты, от которых кинетическая и потенциальная энергии системы явно не зависят, называются циклическими координатами. Цикличность координат во многих случаях связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому рациональный выбор обобщенных координат должен отражать эту симметрию. [c.223] Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах. [c.224] Точка массы т движется в однородном поле тяжести по гладкой циклоиде, расположенной. в вертикальной плоскости (см. рис. 5.6). Найти закон движения точки, если напряженность поля тяжести д, а радиус окружности, производящей циклоиду, равен 7 . [c.224] В частности, если ио=0, то решение принимает вид. [c.225] Рассмотрим решение примера 5.1 с помощью уравнений Лагранжа в независимых координатах. [c.225] Пример 5.6. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности. [c.226] Рассмотрим решение примера 5.2, используя независимые координаты. [c.226] Пример 5.7. Уравнение движения свободной точки в цилиндрических и сферических координатах. [c.227] Вернуться к основной статье