ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Лагранжа с реакциями связей законы изменения импульса, кинетического момента и энергии для систем со связями из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Действительным перемещением йг точки называется бесконечно малое перемещение этой точки пад действием как заданных сил, так й реакций связи действительное перемещение происходит за время й1 в соответствии с уравнением движения и уравнением связи. [c.201] Приведенные примеры показывают сравнительно большую общность класса идеальных связей. Например, любое сочетание гладких связей со связями, состоящими из тонких стержней исчезающей массы и заданной длины, является идеальной связью, если в местах соединения связей отсутствует трение. Все абсолютно шероховатые поверхности, по которым происходит Кс1че-ние тел без проскальзыдания, также представляют собой идеальные связи (как голономные, так н неголономные). Действительно, поскольку в точке касания тела и поверхности отсутствует проскальзывание, виртуальное перемещение точки тела, совпадающей с точкой касания, равно нулю, в силу чего и виртуальная работа реакции поверхности равна нулю. [c.205] Подробнее см. пример о шаре на с. 381. [c.205] Выше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из N точек наложено к голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных перемещений точек на координатные оси, или, иначе говоря, число вариаций координат точек, равно ЗЫ. Так как вариации координат подчинены уравнениям (5.12), то к вариаций являются зависимыми, а ЗК—к вариаций — независимыми. Зависимые вариации могут быть единственным образом выражены через независимые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе (5.12) по предположению отличен от нуля (в противном случае среди связей будут такие, которые являются следствием остальных). Учтем далее, что кроме требований голономности связей выполняется требование их идеальности (см. (5.13)). В этом условии к зависимых вариаций с помоиц ю (5.12) можно выразить через ЗМ—к независимых вариаций. После такой подстановки (для того чтобы удовлетворить требованию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях. Тем самым можно получить ЗК—к соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функций в этом случае совпадают. [c.206] Соотношения (5.17) являются необходимым условием обраш ения в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым условием идеальности голономных связей. Можно непосредственно убедиться и в достаточности этого условия. [c.207] Исключая отсьода 1 и найдем ранее полученное соотношение между проекциями векторов К и г. [c.209] Здесь силы Рг являются заданными функциями Ги и / ( =1,. ... .., Л ). Неизвестными в этих уравнениях являются все радиусы-векторы точек Гг (О и множители Лагранжа ka t) (а=1, 2,. .., к). Число уравнений и число неизвестных функций совпадают и равны ЗЫ + к. [c.209] При применении уравнений Лагранжа возникает также вопрос о выполнении условия идеальности связей. Выше мы видели, что это требование связано с определенными физическими допущениями, которые не всегда выполняются, например наличие сил трения на голономных связя с делает их неидеальными. Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реакций, которые будут удовлетворять условию идеальности (5.13) тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы как функции положений, скоростей точек и времени. [c.209] Во МНОГИХ случаях применение законов сохранения упрощает решение задач о движении несвободных систем. В свою очередь, законы сохранения могут быть связаны с симметрией заданных силовых полей и связей. Поэтому выбор координат целесообраз-но осуществлять с учетом этой симметрии. [c.211] Рассмотрим некоторые примеры на составление и решение уравнений Лагранжа с реакциями связей. [c.211] Точка массы т движется по колеблющейся горизонтальной гладкой плоскости. Найти положение точки и реакцию связи как функции времени, если плоскость колеблется в направлении,, перпендикулярном плоскости, с амплитудой а и частотой со, а напряженность поля тяжести равна g. [c.211] Здесь учтено, что плоскость является гладкой, поскольку составляющие реакции Rx и Ry приравнены нулю. [c.211] Пример 5.2. Точка на расширяющейся цилиндрической поверхности. [c.212] Здесь учтено, что реакция Я перпендикулярна к цилиндрической поверхности и, следовательно, только 7 р отлична от нуля. [c.212] Точка массы т движется по пересечению неподвижной гладкой сферы радиуса а и гладкой горизонтальной плоскости, движущейся в вертикальном направлении по закону г=а sin со/. Найти закон движения точки и реакции связей для 0 / я/2со. [c.213] Вернуться к основной статье