ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Геометрическое изучение вращения абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной точки из "Курс теоретической механики Том1 Статика и кинематика Изд6 " Если абсолютно твёрдое тело движется таким образом, что какая-нибудь точка неизменно связанная с телом, остаётся не подвижной, то такое движение называется вращением твёрдого тела вокруг неподвижной точки. [c.322] Неподвижная точка О может или принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представлять, что она каким-нибудь образом неизменно связана с телом, например при помощи стержня. Примером твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, может служить волчок, конец оси вращения которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что этот конец оси при вращении волчка остаётся неподвижным. [c.322] Предположим, что абсолютно твёрдое тело вращается вокруг неподвижной точки О. Опишем вокруг точки О сферу таким радиусом, чтобы эта сфера пересекла тело тогда сечение тела сферою будет некоторой сферической фигурой, расположенной на поверхности сферы и ограниченной некоторым контуром (-(). Зная, как перемещается сферическая фигура по поверхности сферы, мы будем знать, как перемещается тело вокруг точки О. Таким образом, мы привели изучение движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки к изучению движения сферической фигуры по поверхности сферы. Мы видим, что пришли к задаче, вполне аналогичной той задаче, к которой сводилось изучение плоско-параллельного движения абсолютно твёрдого тела, с той только разницей, что вместо рассмотрения движения плоской фигуры вёе плоскости мы в настоящем случае должны рассматривать движение сферической фигуры по поверхности сферы. Поэтому все выводы, приведённые в 81, без существенных изменений повторяются и здесь. [c.322] В мы получим равные между собою сферические треугольники САВ и СА В. [c.323] Всякое телоу имеющее неподвижную точкуу можно перевести из одного положения в другое одним вращением вокруг оси, про ходящей через неподвижную точку. [c.323] Условимся называть эту ось осью эквивалентного вращения. [c.323] Заметим, что мы могли бы привести треугольник САВ в совпадение с треугольником СА В также и вращением вокруг точки С в обратном направлении мы будем всегда выбирать наименьший угол поворота, так как в дальнейшем нам придётся иметь дело лишь с бесконечно малыми углами поворота. Что касается знака направления вращения, то, выбрав на оси вращения одно из двух направлений ОС или ОС за положительное, мы будем считать вращение положительным, если оно происходит для наблюдателя, расположившегося вдоль положительного направления оси, против стрелки часов, и отрицательным— в противоположном случае. [c.323] Мгновенной осью вращения для данного момента времени на зывается предельное положение оси вращения, эквивалентного перемещению тела за следующий за данным моментом времени бесконечно малый промежуток времени. [c.324] Мгновенной осью вращения абсолютно твёрдого тела называется проходящая через неподвижную точку тела прямая, скорости точек которой в рассматриваемый момент равны нулю. [c.324] Рассмотрим теперь какое-нибудь конечное перемещение абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Разобьём это перемещение на ряд бесконечно малых перемещений и построим для каждого такого перемещения мгновенную ось вращения. Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве представит некоторую коническую поверхность, которая называется неподвижным аксои дом. Эта коническая поверхность имеет вершину в неподвижной точке тела и пересекает вышеуказанную неподвижную сферу по некоторой сферической линии (Г). [c.324] КО второму положению. Очевидно, что при этом втором вращении канал в теле, образованный осью ОС, отойдёт от неподвижной прямой ОС в пространстве, представляющей первое положение оси вращения в пространстве. Вынем затем из тела этот бесконечно тонкий стержень, в результате чего в теле останется второй бесконечно тонкий канал, также проходящий через неподвижную точку О. Далее мы должны поворачивать абсолютно твёрдое тело вокруг следующего бесконечно близкого положения мгновенной оси вращения поэтому проткнём тело вдоль ОС стержнем и повернём тело вокруг этого стержня на бесконечно малый угол так, чтобы тело заняло четвёртое рассматриваемое положение, бесконечно близкое к третьему положению. Очевидно, что при этом третьем вращении канал в теле, образованный осью 0С , отойдёт от неподвижной прямой ОС в пространстве, представляющей второе положение оси вращения в пространстве при этом первый канал в теле ещё дальше отойдёт от Неподвижной в пространстве прямой ОС. Вынем затем из тела этот бесконечно тонкий стержень, в результате чего в теле останется третий бесконечно тонкий канал, проходящий через неподвижную точку О, и т. д. Если размеры тела таковы, что мгновенные оси не пересекают тела, то всегда можно вообразить размеры тела настолько увеличенными, чтобы оси прошли через тело. Продолжая эти рассуждения, мы видим, что геометрическое место каналов внутри тела, представляющее геометрическое место мгновенных осей вращения в теле, также представляет коническую поверхность, имеющую вершину в неподвижной точке О тела. Следовательно, геометрическое место мгновенных осей вращения в теле представляет некоторую коническую поверх ностъ, которая называется подвижным аксоидом. [c.325] Вообразим, что вышеуказанную неподвижную сферу, на которой имеется сферическая линия (Г), обволакивает подвижная сфера, наглухо скреплённая с подвижной сферической фигурой, ограничиваемой контуром ( () очевидно, что эта подвижная сфера будет наглухо скреплена и с телом, и её скольжение по неподвижной сфере вполне определяет движение абсолютно твёрдого тела. Эта подвижная сфера, обволакивающая неподвижную сферу и по ней скользящая, вполне аналогична подвижной плоскости, скользящей по неподвижной плоскости ( 81). Геометрическое место мгновенных осей вращения в теле, т, е. подвижной аксоид, пересекает эту подвижную сферу по некоторой сферической линии (Г ). Эти сферические линии (Г) и (Г ) вполне аналогичны неподвижной и подвижной полодиям плоской задачи. [c.325] Движение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно представить как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному. Образующая, по которой в данный момент со прикасаются оба аксоида, есть для данного момента мгновенная ось вращения твёрдого тела. [c.326] Если оба аксоида суть прямые круглые конусы, то в этом случае движение твёрдого тела называется прецес- сионным движением, или прецессией. На черт. 200 представлены аксоиды такого движения. Конус К есть неподвижный аксоид, конус К — подвижной аксоид, М — абсолютно твёрдое тело. [c.326] Вернуться к основной статье