ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дополнительные замечания из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " В случае бесконечной области между двумя рассматриваемыми задачами имеется еще разница в условиях, обычно налагаемых на поведение решений в окрестности бесконечно удаленной точки. [c.148] Например, предположим, что граница конечного (вообще многосвязного) тела подвержена равномерно распределенному нормальному растя-гиваю14ему усилию Р (при Р С О будем иметь не растяжение, а давление). [c.148] Отметим еще любопытные случаи, когда граничные задачи решаются непосредственно, почти без всяких вычислений. [c.148] Из теоремы единственности вытекает, что задача других решений иметь не может, кроме решений, отличающихся от предыдущего жестким перемещением. [c.148] Совершенно аналогичное замечание можно сделать относительно второй основной задачи. [c.149] Таким образом, к границе тела приложены равномерно распределенные внешние напряжения, равные по величине Q, но направленные не по внешним нормалям, а по направлениям, представляющим собой отражения нормалей в оси Оу. [c.149] например, рассматриваемая область есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, то мы имеем решение задачи для случая, когда на стороны, параллельные оси Ох, действуют растягивающие, равномерно распределенные усилия, а на стороны, параллельные оси Оу, — такие же сжимающие усилия. [c.149] Между тем постановка граничных задач в том виде, как это сделано в 41, кроме п. 6, требует лишь непрерывности вплоть до границы выражений (1) и (2), без обязательного требования непрерывности компонент напряжения. [c.149] Поэтому представляется естественным заменить требование непрерывности компонент напряжения менее ограничительным требованием непрерывности вплоть до границы выражения (2),— иными словами, требованием, чтобы выражение (2) было непрерывно продолжимо на все точки границы Ь ( 29, п. 3). Такая постановка вопроса представляется наиболее естественной и с механической точки зрения. [c.150] Однако при применении методов эффективного решения граничных задач, которыми мы будем пользоваться ниже, целесообразно, в целях значительного упрош.ения рассуждений, наложить на искомые функции несколько более ограничительное условие, заключающееся в следующем требовании функции ф (г), ф (г) и г з (г) непрерывно продолжимы на все точки границы Ь области 8. [c.150] Решение, обладающее этим свойством, мы будем называть регулярным. [c.150] В дальнейшем если противное не оговорено), мы будем считать рас-матриваемые решения регулярными. [c.150] Легко доказать теоремы единственности для первой и второй основных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны ). При доказательстве мы будем считать, что рассматриваемая область 8 конечна, так как распространение доказательства на случай бесконечной области никаких затруднений не представляет. [c.150] Таким образом, теорема единственности для задачи II доказана. Замечание. Приведенные доказате льства теорем единственности можно, очевидно, непосредственно распространить на более общие случаи, аналогичные тем, которые были указаны в замечании к п. 3 40 ). [c.152] Таким образом, точку разрыва С выражения (1) на контуре, обладающую указанными выше свойствами, следует рассматривать как точку приложения сосредоточенной силы X, У), определяемой формулами (2). [c.154] О сосредоточенных силах вообще см. еще 57. [c.154] Отметим теперь одно важное свойство решения первой основной задачи. [c.154] Рассмотрим сперва случай конечной односвязной области. В этом случае искомые функции ф, ij голоморфны в области S. Так как, далее, граничное условие (2) 41 не зависит от упругих постоянных X, х, то функции ф, ур, дающие решение первой основной задачи, будут давать решение этой задачи (при тех же заданных внешних напряжениях) для тела той же формы, но сделанного из любого другого (однородного и изотропного) материала. [c.154] Вернуться к основной статье