ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приведение основных задач к задачам теории функций комплексного переменного из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Будем считать, что, как в предыдущем параграфе, компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы L области S. Точки границы L, а также аффиксы этих точек, мы будем обозначать обычно через t, так что t — z iy, где хну — координаты рассматриваемой точки границы. Часто, однако, там, где это не может вызвать неудобства,— мы будем обозначать точки границы так же, как и прочие точки плоскости, т. е. обычно через z. [c.139] В случае задачи I граничное условие можно выразить двумя различными способами, которыми следует пользоваться, смотря по удобству. Мы укажем пока только один из них второй будет указан в п. 6 настоящего параграфа. [c.140] Способ, на котором мы сейчас остановимся, заключается в следующем. Пусть Хп (1), Уп (t) или, при иных обозначениях, Хп ( ), Уп ( ) — заданные значения компонент внешнего напряжения в данной точке t контура через 8 обозначена, как всегда, дуга контура, соответствующая точке отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки to За положительное направление на Ь мы примем теперь то, которое оставляет область 8 слева. [c.140] Таким образом, граничное условие задачи I выражается формулой (2), понимаемой в указанном выше смысле. При этом функции Л = /1 ( ) и /2 = /2 (О являются заданными на Ь действительными функциями, определяемыми формулой (3). [c.141] В случае задачи I, когда граничные условия вполне определяют напряженное состояние тела (но не смещения) ), можно ( 34) произ вольно зафиксировать обе величины ф (0), г]) (0) и, кроме того, мнимую часть величины ф (0). [c.141] Но если мы определенным образом зафиксируем постоянную, фигурирующую в правой части формулы (2), то из двух величин ф (0), г з (0) можно произвольно фиксировать только одну ). [c.141] Смещения же определяются с точностью до жесткого перемещения тела. [c.141] Дополнительные условия (4), (5) вполне фиксируют функции ф (z), г ) (г), если зафиксирована в случае задачи I постоянная в правой части формулы (2). [c.142] Относительно задачи I добавим еще следующее. Как мы знаем, эта задача может иметь решение лишь при условии, что главный вектор и главный момент внешних усилий, приложенных к границе области S ), равны нулю. [c.142] На основании формулы (3) это условие, т. е. условие равенства нулю главного вектора внешних усилий, эквивалентно условию непрерывности функции fi + if2, заданной на L. Действительно, при соблюдении условия (6) функция fi - - г/г точки t контура L возвращается, очевидно, к своему первоначальному значению, когда t описывает весь контур, и обратно. [c.142] Посмотрим теперь, как выразится условие равенства нулю главного момента через заданные на L функции / и /г. [c.142] И В этом случае граничные условия задач II и I запишутся соответственно в виде (1) и (2). В формуле (2) и в нашем случае функция + 1/2 определяется на контуре Ь формулой (3) при прежнем условии относительно положительного направления обхода контура, т. е. условии, чтобы область д5 оставалась слева ). [c.143] Напомним, что X ж У обозначают компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к X, а Г и Г — постоянные (вообще комплексные), определяющие распределение напряжений на бесконечности, а также вращение на бесконечности. [c.143] по условию, принятому в 40 (п. 1), считаются заданными в случае задачи II — постоянные Г и Г и в случае задачи I — постоянные Ве Г и Г мнимая часть Г на распределение напряжений не влияет. [c.143] Значит, в нашем случае контур Ь обходится в положительном направлении по часовой стрелке, тогда как в случае, рассмотренном в п. 2,— против часовой стрелки. [c.143] Мы видим, кроме того, что правая часть формулы (14), как и следовало ожидать, фактически не содержит мнимой части постоянной Г (ибо Г 4- Г = 2 Ве Г), так как эта мнимая часть не влияет на распределение напряжений. [c.144] Дополнительные условия (15) или (16) вполне фиксируют искомые функции фо (г), фо (г), если в случае задачи I зафиксирована постоянная в правой части формулы (13). [c.145] В случае задачи I величины Х , Уд известны заранее, так как они могут быть непосредственно вычислены по заданным внешним напряжениям. [c.145] Случай бесконечной области может быть рассмотрен совершенно аналогично тому, что было сделано в двух предыдущих пунктах, и поэтому мы на нем останавливаться здесь не будем. [c.146] Этот вид граничного условия, которым главным образом пользовался Г. В. Колосов [1, 2], часто более удобен, чем тот вид, который был указан выше, потому что функции Ф (г) и Ч (г) однозначны также в случае многосвязной области. Но в некоторых случаях указанное в предыдущих пунктах представление граничного условия имеет большие преимущества. Одно из главных преимуществ то, что при таком представлении граничное условие первой основной задачи очень сходно с граничным условием второй основной задачи, вследствие чего очень сходны и методы решения этих задач. [c.147] Вернуться к основной статье