ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые свойства, вытекающие из аналитического характера решения Об аналитическом продолжении через данный контур из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Из аналитического характера общего решения уравнений плоской теории упругости вытекает ряд важных свойств, на которых мы остановимся в настоящем параграфе. [c.127] Функции ф (г), (г), Ф (2), (2), через которые выражается это обп ее решение, являются аналитическими функциями г во всей области, занятой телом, и в том случае, когда эта область многосвязна. Это следует из выражений для названных функций, выведенных в предыдущих параграфах. Разница со случаем односвязной области только та, что функции ф (2) и гр (2) могут оказаться неоднозначными вследствие присутствия логарифмических членов ). Так как аналитическая функция комплексного переменного ъ = х щ является в то же время аналитической функцией действительных переменных х, у (см. 32, примечание), то, как и в случае односвязной области, компоненты напряжения П. и компоненты смещения а, V суть аналитические функции переменных X, у во всей области, занятой телом. [c.127] Из этого свойства решений непосредственно вытекает предложение, которое с первого взгляда может показаться несколько неожиданным. [c.127] Если какая-либо часть тела даже сколь угодно малая) находится в естест енномь состоянии, т. в. в ней отсутствуют напряжения, то и все тело находится в естественном состоянии, иначе говоря, напряжения отсутствуют всюду. [c.127] Действительно, если Х = Уу = Ху О в какой-либо части области 8, занятой телом, то это будет иметь место во всем теле, ибо аналитическая функция не может быть равна нулю в части области, не будучи равной нулю во всей области. [c.127] Перейдем теперь к доказательству одного простого и важного предложения, касающегося аналитического продолжения решения через данный контур. [c.127] Пусть имеются две области и не перекрывающие друг друга, но границы которых имеют общую часть, представляющую собой некоторую (разомкнутую или замкнутую) гладкую линию//. Предположим, что компоненты смещения и напряжения удовлетворяют в каждой из областей 15+ и 5 принятым в 27 условиям. Тогда, как было сказано выше, они будут аналитическими функциями в каждой из отдельных областей б и 5 . [c.127] Выясним теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы они были аналитическими в области 8, получаемой соединением 5+ и 5 (включая Ь). [c.127] Путем сложения выражений (3) и (4) непосредственно убеждаемся, что и функция ф (г) непрерывно продолжима на 1- из У и из б и что ее граничные значения с той и другой стороны равны. Следовательно, на основании сказанного в 29 (п. 4) функция ф (г) будет аналитической в Б значит, и ф (г) будет аналитической. После этого становится очевидным, что и функция (г) непрерывно продолжима яа Ь с обеих сторон и что граничные ее значения равны между собой. Значит, гр ) так же, как и ф (г), будет аналитической во всей области 5. Это доказывает наше утверждение. [c.129] Мы подразумеваем близость не только в смысле расстояний, но и в смысле направлений касательных. [c.129] Это предложение принадлежит Альманзи (А1тапз1 [3]), который доказал его иным путем для общего случая трех измерений. [c.129] Вернуться к основной статье