ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функция напряжений из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Иногда под аналитической в б функцией мы будем подразумевать функцию, аналитическую (в указанном выше смысле) в области, получаемой из б исключением некоторых отдельных точек в этих слзшаях мы всегда будем делать соответствующую оговорку. [c.103] Функция и и называется функцией напряжений или функцией Эри. Так как по принятому нами раньше ( 27) условию функции Х , Yy, Ху однозначны и непрерывны вместе со своими производными вплоть до второго порядка, то функция U должна иметь непрерывные производные вплоть до четвертого порядка, причем эти производные, начиная со вторых, должны быть однозначными функциями во всей области, занятой телом. [c.104] Предыдущее уравнение называется бигармоническим ), а всякое егО решение — бигармонической функцией. [c.105] Однако под бигармоническими функциями в дальнейшем мы будем понимать только такие функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению, производные которых вплоть до четвертого порядка непрерывны, а производные, начиная со второго порядка, однозначны во всей рассматриваемой области. [c.105] Если рассматриваемая область односвязна, то однозначность вторых производных влечет за собой однозначность и самой функции. В многосвязной же области это не обязательно, как мы увидим ниже. [c.105] мы доказали, что функция напряжений должна быть бигармонической. Мы знаем, что это условие, которое есть не что иное, как условие (7) 27, также достаточно для того, чтобы ей соответствовала некоторая действительная деформация, если временно не придавать значения факту, что соответствующие смещения могут оказаться (в случае многосвязной области) многозначными. [c.105] что функция напряжений должна удовлетворять уравнению (4), было-впервые отмечено Максвеллом. [c.105] Мы увидим ниже, что условия а) гарантируют существование производных любого порядка функций Х , Yy, Ху больше того, мы увидим, что функции эти — аналитические (см. 32). [c.106] Точно так же условия б) совместно с условиями а) гарантируют суще- ствование производных любого порядка (и даже аналитичность) функций и, V (см, в том же 32), Заметим еще, что во многих случаях достаточно принять предыдущие условия, отбросив условие однозначности функций и, V. Например, в случае односвязной области эта однозначность является необходимым следствием остальных условий, перечисленных в а) и б) это следует из сказанного в следующем параграфе. [c.106] Область S, занятую телом, мы будем пока (вплоть до 35) считать односвязной. [c.106] Так как функция ф (г), определяемая равенством (10), очевидно голоморфна ) в области S (которую, напоминаем, считаем односвязной), то и и V оказываются однозначными функциями во всей области. [c.108] Таким образом, мы видим, что всякая бигармоническая функция ) определяет некоторую деформацию, удовлетворяющую всем требуемым условиям. [c.108] Заметим в заключение, что, отбросив в правых частях формул (12) слагаемые, выражающие жесткое перемещение, мы ничего не теряем в общности, ибо, как легко видеть, сами функции, фигурирующие в правых частях формул (12), определяются по заданным компонентам напряжения не вполне, а лишь с точностью до некоторых слагаемых, которые и дают произвольное жесткое перемещение тела как целого (см. об этом в 34). [c.108] Вернуться к основной статье