ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Плоская деформация из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Этими уравнениями и надо заменить уравнения равновесия , т. е. уравнения (1) 18. Уравнения же, связывающие напряжения с деформациями, выражающие обобщенный закон Гука, остаются без изменения, так как объемные силы в них не фигурируют. В случае изотропного тела — это уравнения (2) и (3) 18. Без изменения остаются также 4 ормулы (5) 18. [c.80] как уже говорилось 16), подразумевается область, занятая телом до деформации. В соответствии с этим К обозначает первоначальный объем элемента тела, заключающий массу 1т, ар — плотность этого элемента до его деформации эта плотность может зависеть от координат х, у, г рассматриваемой точки, но не от времени t. [c.80] Эти уравнения отличаются от уравнений Навье, полученных им в 1821 г. (см. 21), тем, что в последних фигурирует только одна упругая постоянная. Уравнения Навье получаются из уравнений (2), если считать, что X = ]Х. [c.81] В предыдущих формулах /1, /2, /3 обозначают функции, заданные на поверхности 9 тела и зависящие, вообще говоря, также от времени. [c.81] Смешанная задача отличается от двух предыдущих тем, что на части поверхности даются условия (3), а на другой части — условия (5). [c.81] Кроме этих основных задач, важное значение имеет ряд других, но на этом мы не останавливаемся. [c.81] Во всех перечисленных случаях мы считали, что объемные силы заданы во всех точках тела и во все моменты времени, начиная с -Мы не будем здесь касаться трудного вопроса о математическом доказательстве существования решений этих задач, а докажем только, что если решение данной задачи существует, то оно единственно. [c.81] Прежде, чем приступить к доказательству, выведем одну формулу, представляющую значительный самостоятельный интерес и выражающую закон сохранения энергии в применении к рассматриваемому случаю. [c.81] Преобразуем теперь второй член правой части формулы (б). [c.83] Формула (7) показывает, что IV зависит исключительно от состояния деформации в данный момент в данной точке следовательно, 17 зависит от состояния деформации рассматриваемого тела в данный момент 1. Величина 11 представляет собой потенциальную энергию деформации тела, т. е. работу, которую должны затратить объемные силы и внешние напряжения, чтобы вызвать данное состояние деформации. Действительно, если под воздействием этих сил тело перешло из естественного состояния покоя в новое, деформированное состояние покоя, то согласно формуле (10) будем иметь Е 11, ибо при состоянии покоя Т = 0. [c.83] Формула (10) показывает нам, что работа объемных сил и внешних напряжений затрачивается на создание кинетической энергии Т и потенциальной энергии деформации это и выражает закон сохранения энергии. [c.84] Величина определяемая формулой (7), есть потенциальная энергия деформации, рассчитанная на единицу объема. Действительно, из формулы (И) следует, что количество потенциальной энергии, приходящейся на элемент объема йУ, равно УУ-йУ. Выражение УУ было нами введено еще в 20 напомним, что У есть неособенная положительная квадратичная форма компонент деформации это непосредственно следует из формулы (7). [c.84] Напомним, что в силу соотношений (11) и (7) при наличии (не нулевой) деформации всегда 7 0. [c.85] Формулы (12), (13) легко запомнить они показывают, что потенциальная энергия деформированного тела равна половине той работы, которую затратили бы внешние напряжения и объемные силы, если бы они с самого начала имели те значения, которые они фактически принимают, когда устанавливается упругое равновесие (на самом же деле начальные их значения равны нулю). [c.85] Значительные трудности практического характера, связанные с решением основных задач теории упругости, заставляют искать эффективные методы решения для более или менее широких классов частных случаев, имеюш,их значение на практике. Один из важнейших классов такого типа охватывается так называемой плоской теорией упругости , или плоской задачей теории упругости , которой посвящены главы II—VI этой книги. [c.86] Основные результаты Г. В. Колосова изложены в его работах [1, 2], а также в позднее вышедшей его книге [6]. [c.86] Необходимо отметить, что среди рукописей и черновых материалов, разобранных после смерти С. А. Чаплыгина, были обнаружены его работы по теории упругости, относящиеся приблизительно к 1900 г., в которых содержатся некоторые результаты, полученные впоследствии Г. Б. Колосовым, а также другими авторами. См. Чаплыгин [1], стр. 420 (статья Н. В. Зволинского и Д. Ю. Панова). [c.86] Предыдущий текст сноски перенесен без изменений из третьего и четвертого изданий книги. За последнее время в зарубежной печати появилось значительное число весьма интересных работ, в которых, за немногими исключениями, отдается должное нашим авторам. К таким исключениям принадлежит недавно вышедшая книга Mi Ine-Thomson [1]. [c.86] Отметим, наконец, что главную сущность излагаемых ниже результатов из области плоской теории упругости (главы II—VI) следует видеть, конечно, не в новом выводе формул Г. В. Колосова ) и аналогичных, а Б применении этих формул к решению основных граничных задач при систематическом использовании свойств интегралов типа Коши и конформного отображения ). [c.87] Вернуться к основной статье