ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Но ведь всюду И 0. Следовательно, предыдущее равенство возможно только в случае, если Ж = О во всех точках области V. [c.73] В случаях же второй и смешанной задач и этого различия быть не может, так как смещения заранее заданы на всей или на части поверхности. [c.74] Заметим, наконец, что из доказанной теоремы единственности следует как частный случай предложение Если объемные силы равны нулю и, кроме того, равны нулю а) либо внешние напряжения, б) либо смещения точек поверхности, в) либо внешние напряжения на одной части поверхности и смещения на другой, то во всем теле напряжения равны нулю (следовательно, отсутствует и деформация). [c.74] Приведенное доказательство единственности справедливо как для односвязных, так и для многосвязных тел, ибо мы нигде не вводили предположения об односвязности ). При доказательстве весьма существенным является предположение, что компоненты смещения суть однозначные функции координат. Как мы уже сказали, в случае многосвязного тела можно допустить существование смещений и неоднозначных. При этом обобщенном рассмотрении вопроса приведенное выще доказательство единственности теряет силу и сама теорема несправедлива. О физической интерпретации указанного случая см. ниже (глава II). [c.74] Теорема и приведенное здесь доказательство принадлежат Кирхгоффу (1858 г.). [c.74] Рамки и характер настоящей книги не позволяют нам остановиться на этих вопросах ). Позтому мы ограничимся указанием, что существование решения первой и второй основных задач доказано в настоящее время с полной математической строгостью при достаточно общих условиях. При этом для существования решения первой основной задачи должно быть соблюдено, очевидно, следующее условие главный вектор и главный момент совокупности объемных сил и (заданных) внешних напряжений, приложенных к поверхности, должны равняться нулю. Это условие вытекает йз основного принципа статики, а также может быть выведено из самих уравнений (1). [c.75] Отметим, что в литературе под первой основной задачей разумеют обычно, ту, которую мы назвали второй, и наоборот. [c.75] Добавим, что после выхода предыдущего (четвертого) издания настоящей книги опубликованы работы Купрадзе [1], Гегелия [1], Михлин [14], в которых изучаются пространственные задачи с помощью многомерных сингулярных интегральных уравнений. [c.75] Вернуться к основной статье