ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Равновесие нити на поверхности при наличии треОСНОВЫ ДИНАМИКИ НИТИ из "Введение в механику гибкой нити " Кроме этих, введем другие уравнения, которые получаются из векторного уравнения (1.6) при проектировании его на оси, связанные с поверхностью (рис. 7.2). [c.147] ВОЙ равновесия нити. Направим орт п нормали к поверхности в сторону вогнутости нормального сечения (кривой D, полученной пересечением поверхности плоскостью III) радпус кривизны этого сечения обозначим через R. Наконец, в касательной плоскости I построим орт g так, tiTo6bi тройка векторов t, п, g образовала правый ортого-нальйый триэдр (очевидно, что векторы л, v и g лежат в одной плоскости). [c.148] Заметим, что радиус кривизны A = p os o нормального сечения поверхности и радиус геодезической кривизны p/sinO нити зависят не только от самой поверхности и положения точки Ш, но и от положения нити на поверхности (точнее, от направления касательной т к нити). Поэтому пользоваться этими уравнениями наиболее целесообразно в тех случаях, когда равновесное положение нити на поверхности известно (см. 7.2) или для общих выводов (см. пример 1). В тех л е случаях, когда требуется определить форму (уравнения) кривой равновесия нити на гладкой поверхности, лучше пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия нити (1.4). Во многих случаях более полезными оказываются уравнения равновесия нити в обобщенных координатах (1.5.17) (при вычислении обобщенных сил нужно учесть, конечно, реакцию поверхности JV). [c.149] Из первого уравнения найдем, что во всех точках такой нити натяжение Т будет одинаково из третьего уравнения следует, что угол геодезического отклонения нити б равен нулю. Это означает, что в каждой точке нити ее главная нормаль v совпадает с нормалью к поверхности п (рис. 7.2). Линии, лежащие на поверхности и обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Поэтому, если нить, массой которой можно пренебречь, пропустить через два отверстия на гладкой поверхности и натянуть, то в равновесном положении она расположится по геодезической линии. Напомним, что для сферы геодезическими линиями служат дуги большого круга, а для кругового цилиндра винтовые линии. [c.149] Заметим, что подстановкой os Q = z этот интеграл сводится к эллиптическому интегралу. [c.151] НИТИ И условия, при выполнении которых нить будет находиться в равновесии (предполагается, что силы трения подчинены закону Амонтона). [c.152] Так как по условию конфигурация нити на поверхности задана, то в уравнениях (2.1) радиус кривизны нити р и угол геодезического отклонения 0 будут известными функциями положения точки М на нити, т. е. криволинейной координаты 5. Кроме того, известны проекции активной силы Р Рх, Рпч Рё)- Неизвестными величинами являются нормальное давление N, натяжение нити Г, модуль и направление силы трения Р и угол ). [c.152] Из неравенства (2.9) нельзя определить значение натяжения в любой точке нити — мы можем только указать его нижнюю границу. Это соответствует природе принятого закона трения. Конечно, в предельном случае, когда имеет место знак равенства, задача становится вполне определенной. [c.154] Пример 2. Равновесие нити на круговом конусе. Рассмотрим невесомую нить, охватывающую шероховатый круговой конус по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса (рис. 7.6). К переднему свободному концу нити подвешен груз весом G. Требуется определить, какой груз нужно подвесить ко второму концу нити, чтобы последняя оставалась в равновесии. Ось конуса горизонтальна, угол между его образующей и осью равен ао, коэффициент трения к. [c.155] В рассматриваемом случае угол геодезического отклонения -O = ао = onst (так как v и л перпендикулярны оси конуса и его образующей соответственно), радиус кривизны нити р == г, где г — радиус окружности, длина нити, лежащей на конусе, L—nr. [c.155] В предельном равновесии угол между силой трения F и касательной к нити т определяется из равенства (2.4) и для данного примера Y = ar sin tg о о/А . [c.156] Как уже отмечалось (см. 1.3), радиус кривизны любой пространственной, в том числе и геодезической, линии можно рассматривать как функцию дуговой координаты р = р(5). Поэтому формула (2.16) определяет условие равновесия нити, расположенной по геодезической линии шероховатой поверхности для случая, когда активными силами можно пренебречь. [c.157] В равенстве (2.9) как произведение коэффициента трения к на угол охвата может привести к ошибочным заключениям. Действительно, в примере 2 реальный угол охвата равен л , но показатель степени равен не Ля, а х л , где х определен равенством (2.15). [c.158] В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Угол Y между силой треиия F и касательной к НИТИ т (см. рис. 7.4 и уравнения (2.1)) зависит от действующих на нить активных сил, конфигурации нити на поверхности и коэффициента трения к. Даже при отсутствии активных сил этот угол может быть различным. Так, в примерах 1 и 3 угол Y равен нулю, а в примере 2 в предельном равновесии y = ar sin tga/A. [c.158] Вернуться к основной статье