ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Непериодическая Ап-цепочка Топы из "Классическая теория поля и теория гравитации Том4 Гравитация и космология " Обратим внимание на параметр Л, присутствующий в этих операторах. Именно благодаря ему операторы (2.5) порождают бесконечную алгебру Каца-Муди. Действительно, при их коммутации появляются члены, пропорциональные любой положительной степени А. Приведем другую, матричную реализацию алгебры (2.4), использующуюся в методе обрат1юй задачи. [c.19] Это известные формулы для ПБ уравнения КдВ, связывающего два его решения, ю и ю. [c.20] Мы видим, уто при А = о функция ш удовлетворяет свободному уравнению Лапласа, а при а, Хф О преобразования Беклунда (2.20) связывают уравнение Лиувилля с ним же самим. [c.22] Вводя новую неизвестную функцию v = 2Ф — и, получим преобразования Беклунда для уравнения синус-Гордона в обычной форме . [c.24] Таким образом, мы видим, что F-G-пары, используемые в методе обратной задачи, и преобразования Беклунда являются разными представлениями одной и той же алгебры продолженных структур. [c.24] Она связана калибровочным преобразованием с системой (2.31). Введем величину е = Ф /Ф . Легко видеть, что определенная таким образом величина ы удовлетворяет уравнению (2.34), т. е. это есть уравнение, которому функции Ф , Ф из линейной системы (2.35), а точнее говоря, их от1юшенне, удовлетворяют сами по себе, если исключить из уравнений (2.35) функцию и. Уравнение (2.34) обладает той особенностью, что в не1Х входит и спектральный параметр А. Если же вместо функции ы ввести функцию V = 2а — и, 1х и уже будет удовлетворять обычному уравнению синус-Гордона. [c.25] Во Введении указывалось, что неудачный выбор новой неизвестной функции может привести к тому, что уравнение для нее будет иметь сложный вид и в него войдет спектральный параметр Л. Именно это мы и наблюдаем в случае величины ш и уравнения (2.34). [c.25] В работе [46] была найдена бесконечномерная реализация алгебры (2.38) с помощью операторов от бесконечного числа переменных, аналогичных операторам (2.35). [c.25] Наиболее ярко алгебраическая структура преобразований Беклунда проявляется в случае цепочек Тоды. Это и понятно, поскольку сами эти системы строятся как чисто алгебраические конструкции каждой полупростой алгебре Ли сопоставляется непериодическая цепочка Тоды [7], а каждой алгебре Каца-Муди — периодическая цепочка Тоды [4]. и — К-пары для таким систем можно записать в симметричном виде. При такой записи как функции, входящие в нелинейные уравнения, так и функции, на которых определены уравнения линейной задачи, оказываются коэффициентами операторов, образующих некоторые алгебры Ли. Каждому из уравнений, связанных преобразованием Беклунда, отвечает своя алгебра Ли, а само преобразование Беклунда имеет г ид специальным образом устроенного произведения этих алгебр Ли. [c.25] Рассмотрим теперь, следуя работам [41, 42], указанные выш примеры. [c.26] Эти уравнения являются условиями совместности линейных систем (3.1), (3.2). Они возникают при исключении из уравнений (3.1), (3.2) функций в . Теперь мы рассмотрим другую задачу мы попытаемся исключить из уравнений (3.1), (3.2) функции ф с тем, ч гобы найти уравнения, которым удовлетворяют функции б сами по себе. Это удается сделать, но не для самих функций в, а для некоторых их линейных комбинаций с функциями ф. [c.27] Введем функции = 1п Ф, I — 1. 2п -4- 1. Функции ф и / в уравнениях (3.1), (3.2) связаны между собой матрицей Картана алгебры В [43] ф = Кв./. [c.28] Здесь f t) и g x) — произвольные функции соответственно от t и х. [c.29] Отметим, что наша формула отличается от аналогичной формулы, полученной в работе [48]. [c.34] Таким образом, уравнения (3.28) (3.29) являются преобразованиями Беклунда, связывающими друг е другом две периодические Л -пепочки Тоды. [c.34] Вернуться к основной статье