ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Продолженные структуры н построение F — G-нар нелинейных уравнений из "Классическая теория поля и теория гравитации Том4 Гравитация и космология " Появившийся в 1967 г. [1] метод обратной задачи рассеяния позволил рассмотреть с единой точки зрения широкий класс уравнений математической физики, описывающих различные явления, зачастую имеющие с физической точки зрения мало общего между собой. С внешней стороны сходство между этими уравнениями прюявляется в том, 1ТО все они являются в том или ином смысле интегрируемыми, т. е. [c.4] Возможны различные подходы к описанию таких интегрируемых систем. В большинстве рбзоров и монографий, посвященных этой теме [7-15], основной упор делался на аналитическую сторону проблемы. Это и понятно, т. к. именно аналитические методы используются при построении и анализе конкретных решений. Алгебраическая сторона проблемы пока освещалась в меньшей степени. В целом же существует многочисленная литература по этой тематике, ряд вопросов обобщен в монографиях [9-15], однако многие результаты и методы еще требуют систематизации и осмысления. [c.5] Появление коммутаторов в формулах (0.1) и (0.2) и обусловливает то, что при изучении таких уравнений применяются алгебраические методы. [c.6] Действительно, величины Ьи А, входящие в уравнение Лакса (0.1), являются, как правило, дифференциальными операторами. Условие (0.1) накладывает на их структуру достаточно жесткие ограничения, которые можно сформулировать алгебраически. Эта же алгебраическая формулировка позволяет и расклассифицировать уравнения такого типа. Алгебраические свойства уравнения Лакса и связанная с ним классификация интегрируемых уравнений были изучены в работах [18-21]. В последнее время эти вопросы исследовались также в работе [22]. [c.6] где алгебраические структуры, о которых здесь идет речь, проявляются наиболее четко. Их обобщение на матричный случай описано в главе 4. [c.9] В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Мы опишем его алгебру продолженных структур и порождаемые ею ПБ. Это будег сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, о следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [c.9] Следует отметить, что во всех известных ныне уравнениях, которые интегрируются с помощью метода обратной задачи рассеяния, коммутационные-соотношения (1.14) таковы, что их можно проинтегрировать, используя только один псевдопотенциал. При этом спектральный параметр, присутствующий в уравнениях (1.1), (1-2), возникает как константа интегрирования. [c.12] Это и есть - 7-представление для уравнения (1.3). [c.13] Таким образом, задача построения F-G-пары (1.1), (1.2) свобрнтся х выделению из алгебры, определяемой соотношениями (1.14), конечномерной замкнутой подалгебры и реализации ее с помощью ся1ераторов, линейно зависящих от переменных у, или, что то же самое, к построению ее матричного представления. [c.13] Иногда удается сразу, не интегрируя уравнений ва коэффициенты операторов X, Y, дополнить соотношения (1.14) коммутаторами я соотношениями, замыкающими их в некоторую алгебру. Неоднозначность этой процедуры приводит к тому, что матрицы Ат В зависет от некоторого скалярного параметра А, который потом при решении прямой и обратной задачи рассеяния играет роль спектрального параметра. [c.13] Метод обратной задачи доставляет нам регулярную процедуру построения интегралов движения и законов сохранения. Собственно говоря, решать обратную задачу рассеяния для этого вовсе не требуется, а достаточно существования одной -С -пары. К изложению этой процедуры мы и перейдем. [c.13] Отметим-, что так как матрица S диагональна, то выражения, стоящие в правых частях формул (1.28), (1.29), тоже диагональны, и уравнение (1.30) даетнабор интегралов движения, которые получаются из (1.30) при разложении Ф, Ф , А, В ъ ряды по степеням е. [c.16] Вернуться к основной статье