ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диады и диадики из "Теория и задачи механики сплошных сред " Из этой формулы видно, что скалярное и векторное умножение здесь можно менять местами. Так как векторное умножение должно выполняться первым, скобки не нужны и, как показано, их можно опустить. Это произведение иногда записывают как labe]. Величина К см и того произведения равна объему параллелепипеда с peSp iH а, Ь, с. [c.13] Из формулы (1.11) видно, что W лежит в плоскости векторов Ь и с. [c.13] Однако это представление неединственно. В символических обозначениях тензоры второго ранга (диадики) изображаются заглавными жирными буквами, как это сделано выше. [c.13] Если каждую диаду в сумме D в формуле (1.12) заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получится скаляр. [c.13] Можно показать, что D,, и D не зависят от выбора представления (1.12). [c.14] Почленное сложение н вычитание (1.41) и (1.42) приводит соответственно к требуемым равенствам О = О и Н = Н. [c.16] Вектор V произволен, следовательно, для любого единичного вектора его направляющие косинусы являются его декартовыми компонентами. [c.17] что а представляет собой скалярное произведение диадика на вектор, т. е. [c.19] По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза.Если индекс употреблен один раз, то подразумевается, что он принимает значения 1, 2,. .., Л , где N— заданное положительное целое число, которое определяет размерность индекса, т. е. интервал его изменения. Неповторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене. [c.20] Если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. В этом так называелюм соглашении о суммировании повторяющиеся индексы часто называют немыми, так как их замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. Вообще говоря, в правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз. Если для желаемого представления какой-либо величины совершенно необходимо использовать некоторый индекс более чем дважды, соглашение о суммировании употреблять не следует. [c.20] Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например, Я, изображает скаляр, или тензор нулевого ранга. [c.21] В общем случае в Л -мерном пространстве тензор /г-го ранга будет иметь Л компонент. [c.21] Если же I, / = 1, 2, 3, то формула (1.66) даст девять соотношений, каждое из которых имеет девять членов в правой части. [c.22] Системы координат х и б , использованные при написании (1.72) и (1.75),— самые общие они могут быть любыми криволинейными или декартовыми. [c.24] Контравариантные тензоры третьего, четвертого и более высокого порядков определяются аналогичным образом. [c.24] Слово контравариантньиЪ использовано выше, чтобы отличить эти тензоры от тензоров другого типа, называемых ковариантньши. В общей теории для изображения ковариантных тензоров используются нижние индексы. Типичный ковариантный вектор образуют частные производные от скалярной функции по координатам. [c.24] Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовьши тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантньши компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами. [c.26] Нужно заметить, что в формуле (1.93) у свободным был второй индекс, а в выражении (1.94) свободный индекс является первым. [c.28] Вернуться к основной статье