ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационный принцип для задачи о квазиравновесии из "Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях " Уравнения (2.1.63), (2.1.64) и граничные условия (2.1.45), (2.1.86) однозначно определяют поле W при любой форме свободной поверхности. Условие (2.1.87) можно рассматривать как условие, определяющее равновесную форму поверхности (разумеется, в том случае, когда равновесие возможно). То же самое можно сказать об уравнениях (2.1.63), (2.1.64) и граничных условиях (2.1.45), (2.1.82), (2.1.83) для поверхности раздела сред. В этом случае для определения формы поверхности служит условие (2.1.85). [c.83] Г раничные условия на свободной поверхности и поверхности раздела сред были получены без учета поверхностного натяжения. Капиллярные силы дают дополнительное давление под искривленной поверхностью жидкости. Учет капиллярности приводит к тому, что в условиях (2.1.85) и (2.1.87) появляется дополнительное слагаемое, описывающее эффект поверхностного натяжения. [c.83] При вибрациях, как правило, в вязких стоксовых слоях вблизи твердых тел и поверхностей раздела генерируются средние течения, и состояние с и = О не реализуется. В принятых здесь предположениях, однако, эти течения слабы и не влияют на стационарную форму поверхности раздела. Более подробно вопрос о генерации средних течений будет обсуждаться в гл. 5. [c.83] Пусть жидкость с плотностью р частично заполняет полость О, ограниченную твердыми стенками 8. Свободную поверхность жидкости / будем задавать уравнением = С (ж, у), где 2 — вертикальная координата. [c.84] Как видно, F является разностью потенциальной энергии жидкости в поле тяжести и кинетической энергии пульсационного движения относительно лабораторной системы отсчета. [c.84] Условие (2.2.4) выражает постоянство объема жидкости константа в этом условии связана с полным объемом жидкости и совпадает с ним, если стенки полости вертикальны, а дно — горизонтально. Для определенности будем иметь в виду этот случай, хотя все результаты остаются в силе и для более сложной геометрии. [c.84] Функционал (2.2.1) не ограничен снизу. Действительно, не нарушая условий (2.2.2) -(2.2.4), можно добавить к W градиент произвольной гармонической функции, удовлетворяющей однородным условиям Неймана на твердой стенке. Поскольку при умножении такой функции на постоянный множитель получаем тоже допустимую функцию, то второе слагаемое в (2.2.1) может быть сделано сколь угодно большим по абсолютной величине. [c.84] Таким образом, Г не имеет абсолютных экстремумов, но может иметь локальные. [c.85] Полученные условия вместе с (2.2.2)-(2.2.4) совпадают с найденными в 2.1 условиями квазиравновесия жидкости со свободной поверхностью. [c.85] Таким образом, показано, что задача определения формы равновесной свободной поверхности в статическом и вибрационных полях допускает вариационную формулировку. [c.85] Сформулированный выше вариационный принцип мало пригоден для численного отыскания формы свободной поверхности. Это связано с тем, что искомое стационарное значение функционала (2.2.1) не обязательно должно быть экстремумом. В настоящее время не известно эффективных численных процедур исследования не экстремальных стационарных значений функционалов. [c.85] Как будет показано ниже, возможна такая модификация вариационного принципа, при которой варьируемый функционал оказывается ограниченным снизу. Это обеспечивает существование минимума и, следовательно, дает возможность использовать высокоэффективные численные методы минимизации. [c.86] Как показано в 2.1, эти условия должны выполняться для однородной жидкости со свободной поверхностью, поэтому, ограничиваясь только полями, удовлетворяющими (2.2.10), (2.2.11), мы не теряем никаких решений. С другой стороны, при этом отбраковываются функции, не удовлетворяющие (2.2.10), (2.2.11). [c.86] Задача (2.2.12)-(2.2.14) имеет единственное решение при любой форме свободной поверхности. Это означает, что функционал (2.2.1) зависит теперь не от (ж) и W по отдельности, а только от ((ж). Данное выше доказательство неограниченности функционала Г снизу теперь неприменимо, так как не осталось произвола в выборе W. Более того, как будет показано ниже, получившийся функционал ограничен снизу. [c.86] Поскольку о — заданная величина, то это означает ограниченность функционала (2.2.1) снизу. [c.87] Здесь отброшена несущественная постоянная. [c.87] Если (2.2.1) было естественно трактовать как осредненный по быстрому времени лагранжиан системы (в лабораторной системе отсчета), то (2.2.20) следует интерпретировать скорее как осредненный гамильтониан (в собственной системе отсчета). [c.87] Отыскание экстремумов ограниченного снизу функционала (2.2.20) может быть произведено с помощью стандартных методов минимизации. [c.87] Вернуться к основной статье