ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Двумерная задача линейной устойчивости для вязкой жидкости из "Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях " Отметим, что доказательство, данное в [35], молчаливо предполагает, что спектр мультипликаторов невырожден, что в общем случае может и не иметь места. Однако для часто встречающегося на практике случая, когда п = 2, матрица А постоянна, а матрица С имеет нулевой след (или след неотрицателен), произведение мультипликаторов, очевидно, равно единице (или меньше единицы), и поэтому вырождение нарастающих возмущений исключено, т. е. в этом случае теорема Opa справедлива. Именно к этому классу систем относится уравнение (1.3.28), так что отсутствие для него полуцелых зон неустойчивости можно было предсказать на основании теоремы Opa. Впрочем, этот результат непосредственно следует из преобразования (1.3.29) и уравнения (1.3.31). [c.50] Используя известные результаты исследования областей параметрического резонанса для уравнения (1.3.31), можно легко построить границы областей неустойчивости на плоскости параметров В у, к. [c.51] Таким образом, параметрическая неустойчивость наступает при бесконечно малой амплитуде вибраций. Однако, поскольку эта неустойчивость при высоких частотах смеш,ается в коротковолновую область, она может существенно подавляться вязкостью. [c.51] Таким образом, длинноволновая неустойчивость определяется скоростью вибраций аш и при заданной скорости не зависит от частоты. В частности, такой же порог будет в пределе низких частот, когда мы фактически имеем дело с неустойчивостью поверхности раздела двух жидкостей, движущихся с постоянной скоростью. Это обстоятельство и дает нам основание связывать основную зону неустойчивости с неустойчивостью Кельвина—Гельмгольца. [c.52] Как уже отмечалось, при увеличении частоты вибраций резонансные возмущения сдвигаются в коротковолновую область, в которой существенную роль начинают играть вязкие эффекты. Поэтому представляет интерес рассмотрение влияния вязкости на порог возбуждения волн в поле горизонтальных вибраций. [c.52] Расчеты устойчивости основного состояния как для малых, так и для конечных значений вязкости проводились численно. Для этого решение представлялось в виде рядов Фурье по времени, а получившаяся система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд решалась методом пошагового интегрирования. Необходимое число учитываемых гармоник Фурье определялось по сходимости результатов. Как оказалось, для достижения приемлемой точности достаточно учета примерно 20 гармоник. Для предотвраш,ения потери линейной независимости частных решений уравнений для амплитуд использовалась процедура ортогонализации Грамма-Шмидта. [c.54] Вернуться к основной статье