ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейная теория ряби Фарадея из "Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях " Нелинейная теория ряби Фарадея была впервые построена в работе [17] на основе модели идеальной жидкости. В ней довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено на основе лагранжева подхода. При таком подходе учет диссипативных эффектов затруднителен, поэтому в [17 вязкость либо не учитывалась, либо вводилась модельным образом в предположении, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [18, 19] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [20-25] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости. [c.24] Между тем, вязкость играет важную роль в формировании параметрических волн. Именно ею определяется порог возбуждения параметрического резонанса. Кроме того, как будет показано ниже, решения нелинейной задачи о параметрических волнах, полученные без последовательного учета вязкости, расходятся в коротковолновой части спектра. Отметим еще, что, как показано В.Е. Захаровым [26], для ка-пиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости вообще нет устойчивых решений. В настоящем параграфе нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн строится на основе уравнений движения и соответствующих граничных условий для вязкой жидкости. Изложение следует работе [27]. [c.25] Нелинейный анализ параметрических волн проведем на примере жидкости со свободной поверхностью, исследованном в линейном приближении в 1.1. Используя те же обозначения, сформулируем нелинейную задачу о возбуждении параметрических волн. [c.25] Декартова система координат выбрана так же, как в 1.1. Равновесное давление исключено из уравнений движения и перенесено в граничные условия. Для простоты рассматривается плоская задача, поэтому у-компоненты скорости и производные по у отсутствуют. [c.26] Безразмерные параметры г , ш имеют тот же смысл, что и в 1.1 (см. (1.1.17), (1.1.18)), а 7 = 4auJ /g представляет собой вибрационную перегрузку. Индексы у входяш,их в уравнения и граничные условия величин означают сейчас дифференцирование по соответствующей переменной. Как и ранее, знак тильды над безразмерными вязкостью и частотой в дальнейшем опускается. [c.26] Нелинейную задачу (1.2.6)-(1.2.11) будем решать методом разложения по амплитуде возникающих волн. Кроме того, считается малой вязкость жидкости. Таким образом, в задаче возникает два малых параметра — вязкость и надкритичность. Как известно [28], при наличии в задаче нескольких малых параметров удобно исследовать ее решения на криволинейных лучах в пространстве этих параметров. Отметим, что при независимом разложении по параметрам существует опасность потери некоторых асимптотик [29]. [c.26] Можно показать, что при другом выборе криволинейных лучей получаются лишь тривиальные результаты. Из (1.2.13) видно, что разложение ведется в суш,ности по величине, пропорциональной корню квадратному из вязкости жидкости. Параметры д, к и ш являются внешними, поэтому имеется произвол в их выборе. Полагая, например, со = соо, мы будем рассматривать волны с фиксированной частотой накачки, но с разными длинами волн. Практически, однако (вследствие большого числа производных по координате), удобнее фиксировать волновое число (полагая к — ко и к — к2 — . — 0). Обратный пересчет к фиксированным частотам легко произвести в окончательных результатах. Индекс у 2 в дальнейшем для краткости опускаем. [c.27] Индекс О у слагаемых нулевого порядка в дальнейшем опускается. [c.27] Производные по ж в виде ряда по е представлять не нужно, поскольку мы считаем фиксированным волновое число. [c.27] 16)-(1.2.18) выписаны типичные слагаемые, фактически при решении задачи будет использоваться большее количество членов разложений. [c.28] Вернуться к основной статье