ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Деформация цилиндра конечной длины, нагружённого по боковой поверхности. Метод тригонометрических рядов из "Пространственные задачи теории упругости " С помощью этого класса решений можно удовлетворить условиям нагружения боковой поверхности цилиндра (л — 1 и х = х ) нормальными и касательными усилиями, распределение которых задаётся полиномами по степеням С. [c.391] Найденное решение, таким образом, соответствует отсутствию загружения торцов цилиндра. Заметим, что продифференцировав (3.20) по С, получим (после замены qQ и на pQ и р ) решение Ляме. [c.392] Решение этой задачи даст исходные формулы, которые позволят рассмотреть более общие случаи загружения. [c.393] В случае полого цилиндра пришлось бы определять четыре постоянные С , О у С.2, из четырёх линейных уравнений, составляемых по краевым условиям для нормальных и касательных напряжений на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Это громоздкое вычисление мы не будем проводить. Формулы (4.6) — (4.8) будут исходными при рассмотрении задач в 5—7. [c.394] В таблице 9 приведены значения первых трёх корней расположенных в первой четверти плоскости р там же даны некоторые функции этих корней, знание которых будет полезно в дальнейшем. Число Пуассона т принято равным 4. [c.395] Точность этих выражений соответствует точности формулы (4.20), дающей асимптотическое распределение корней. Заметим, что асимптотическое выражение для можно было бы получить также и из уравнения (4.16). [c.397] Выражения, отличающиеся только перестановкой и знаком постоянных, мы получили бы, взяв мнимую часть Й8 и Таким образом, для каждого корня рд, расположенного в первом квадранте плоскости р, получаем два вещественных частных однородных решения, соответствующих независимым постоянным и М . Наличие в выражениях (4.37) множителя указывает, что эти решения затухают от края цилиндра С = 0. Быстрота затухания возрастает с номером решения, при 5=1 имеем 81 = 2,698 (см. таблицу 9), а при больших 5, по.(4.20), т. е. затухание будег очень сильным. [c.398] В 8 приведены таблицы, облегчающие вычисление однородных решений. [c.399] В 4 приведены выражения перемещений точек цилиндра при задании на его боковой поверхности нормальных и касательных нагрузок, распределённых по закону косинуса и соответственно синуса. Наложение этих решений позволяет рассмотреть задачу li случае произвольного нагружения, симметричного относительно среднего сечения (С = 0) цилиндра. Случай кососимметричного нагружения также не потребовал бы новых приёмов решения. Можно было бы использовать те же формулы (4.6), (4.7), заменив в них, как было указано уже, os рС и sin соответственно на sin и (— os р ). [c.399] Полученное решение, таким образом, соответствует наличию на торце лишь нормальных напряжений, распределённых так, что при деформации торец остаётся плоским. Как уже говорилось выше, можно, налагая элементарное решение, отвечающее равномерному распределению нормальных напряжений по торцу, получить на торце систему нормальных напряжений, статически эквивалентную нулю. Тогда решение, построенное указанным образом, даст в соответствии с принципом Сен-Венана распределение напряжений, которое на достаточном удалении от торцов действительно реализуется в упругом цилиндре при нагружении его по принятому закону (5.1). [c.400] Наихудшая сходимость ряда имеет место при л = 1 покажем ход численного расчёта в этом наименее благоприятном случае. [c.403] Приводим вычисленную Л, Файлоном таблицу 10, дающую распределение нормальных напряжений о,. [c.404] Последняя строка таблицы даёт распределение напряжений в сечении, расположенном в загруженной части цилиндра. [c.404] Вернуться к основной статье