ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примечания н литературные указания к главе из "Пространственные задачи теории упругости " Соотношения (11.1) — (П-З) представляют полную систему уравнений теории упругости в напряжениях. Они выражают, что из всех статически возможных напряжённых состояний фактически в упругом теле реализуется такое состояние, которому соответствуют деформации, удовлетворяющие условиям сплошности. Отметим, что при задании внешних поверхностных сил по всей границе тела для разыскания напряжений нет необходимости использовать какие-либо иные соотношения теории упругости, кроме (11.1) — (11.3). По найденным напряжениям определяются деформации, а по последним, поскольку условия сплошности соблюдены, могут быть с помощью формул (4.16) определены перемещения. [c.55] Решение вида (12.34) было использовано Корном при построении доказательства существования решения уравнений теории упругости при заданных на поверхности упругого тела перемещениях. [c.63] Задача о разыскании тепловых напряжений, возникающих в упругом теле при нагревании его, формально сводится к рассмотрению равновесия тела, находящегося под действием объёмных сил, имеющих потенциал, и некоторой системы поверхностных сил. [c.64] В вычислении, которое было выше проведено, модули О и то считались постоянными, т. е. не зависящими от температуры. [c.65] Предположим, что объёмные силы отсутствуют, а на части поверхности тела, Si, отсутствуют перемещения, т. е. i/ = 0 в условиях (9.7), тогда как на другой eS части, отсутствуют внешние нагрузки, т. е. = 0. [c.66] Предполагается, что основные уравнения математической теории упругости известны читателю в объёме, налагаемом в распространённых учебных руководствах М. М. Филоненко-Бороднч Теория упругости (Гостехиздат, 1947). Л. С. Лейбензон Курс теории упругости (Гостехиздат 1947). П. Ф. Папкович Теория упругости (Оборонгиз, 1939). С. П. Тимошеико Теория упругости (ГТТИ, 1934). [c.68] От читателя требуется также знание основ векторного анализа в объёме первой и второй глав книги Н. Е. Кочина Векторное исчисление н начала тензорного исчисления (ОНТИ, ГТТИ, 1934) и знакомство с понятием аффинного ортогонального тензора, излагаемым в третьей главе этой книги, к которой следует обратиться, если изложение в 3 покажется малодоступным. [c.68] Изложение в 4 вопроса об определении перемещений по тензору деформации представляет в известной мере пересказ в обозначениях тензорного анализа, приспособленный к дальнейшему развитию предмета, 15 книги Н. И. Мусхелишвнли Некоторые основные задачи математической теории упругости (Изд-во Акад. наук, 1949). [c.69] В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69] Кешении задачи теории упругости (Труды Ленинградского политехи, нн-та, s 4, 1947) н М. Г, Слободянского Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции (Прикл. матем. и мех. 18, 1954, стр. 55), в которых трактуется вопрос о допустимости илн недопустимости уменьшения числа гармонических функций в общем решении до трёх (вместо четырёх). Наша точка зрения сводится к тому, что решение П. Ф. Папковича, равно как и другие формы общих решений, является весьма полезным вспомогательным средством решения краевых задач теории упругости, допускающим непосредственное применение прн выборе частных решений хорошо известных классических решений в форме гармонических функций. Если и верно, что общее решение должно содержать только три гармонические функции, а не четыре, то прн построении решения конкретной задачи сохранение четвёртой гармонической функции может облегчить выбор необходимых частных решений, и поэтому нет нужды от него отказываться. [c.69] Зависимости Бельтрами — Митчелла в тензорной форме в записи, несколько отличной от (11.13), приводятся в книге Ю. А. Круткова (стр. 93). Выражения этих зависимостей в системе ортогональных криволинейных координат (11.17) автору не приходилось встречать в литературе в частном случае цилиндрических координат при наличии симметрии вращения зависимости Бельтрами—Митчелла получены довольно кропотливым путём в известном курсе С. П. Тимошенко (стр. 341), См. также (11.18). [c.70] При изложении основных уравнений теории упругости мы не останавливались иа вариационных принципах и основанных на них методах приближённого решения частных задач теории упругости. Эти методы получили применение к рассмотрению некоторых пространственных задач в работах М, М. Филоиенко-Бородича Задача о равновесии упругого параллелепипеда прн заданных нагрузках на его гранях (Прикл. матем. и мех. 15, 2, 1951). Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда ) (там же, 5, 1951), Некоторые обобщения задачи Ляме для упругого параллелепипеда (там же 17, 4, 1953) и Г. С. Шапиро Некоторые задачи о деформациях стержней переменного сечения (там же 17, 2, 1953). [c.70] Вопросу о приведении основных задач статики упругого тела к интегральным уравнениям посвящена большая литература. Существенные результаты получены Д. И. Шерманом (Пространственная задача теории упругости с заданными смещениями на границе, Прикл. матем. и мех., 7, стр. 341— 360, 1943) и в ряде публикаций И. С. Аржаных, собранных в монографии Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости (Ташкент, Издательство Акад. наук Узбекской ССР, 1954), в которой читатель найдёт также указания иа фундаментальные работы Фредгольма, Вейля и Лихтенштейна. [c.70] Вернуться к основной статье