ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение принципа Гамильтона — Остроградского к неголономным системам из "Аналитическая механика " Следует отличать вариационный принцип Гамильтона — Остроградского от более обш,ей точки зрения на этот принцип в механике. Первый, как указывалось, имеет место для систем, подчиненных голономным связям, при действии потенциальных сил. Принцип Гамильтона — Остроградского в механике имеет более обш,ее значение. Он применим при наличии непотенциальных сил и, как увидим ниже, к неголономным системам. [c.649] Важное значение имеет рассмотрение случая суш ествования между положениями системы и А, соединяюш.их их бесконечно близких истинных путей, проходимых за одно и то же время. Такие два положения системы называются сопряженными кинетическими фокусами. Известный пример представляет движение точки при отсутствии сил на поверхности сферы. Такое движение происходит по большому кругу сферы (геодезической линии) с постоянной скоростью. Сопряженными кинетическими фокусами будут положения точки на концах одного и того же диаметра сферы, так как их можно соединить бесконечно близкими большими полукругами, прохождение которых осуш.ествляется за один и тот же промежуток времени при задании одинаковых по величине скоростей. [c.651] положения Л я А, соединены двумя бесконечно близкими, истинными путями, т. е. являются сопряженными кинетическими фоку сами. Вместе с тем доказано, что действие есть минимум, если конечное положение проходится системой ранее того момента, когда достигается сопряженный рассматриваемому начальному положению кинетический фокус ). [c.652] действие на прямом пути оказывается большим, чем на построенном окольном. [c.652] Проведенное геометрическое рассмотрение позволило установить наличие минимума действия по Гамильтону на истинном пути, не проходяш.ем через сопряженный кинетический фокус, и отсутствие минимума на пути, его содержаш.ем. Однако оно не дает средств для разыскания сопряженного данному начальному положению кинетического фокуса и не решает вопроса о его существовании. [c.652] Б о б ы л е в, О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия. Приложение к LXI тому Записок Российской Академии наук, 1889. [c.653] Но это — та же система уравнений в вариациях (9), если сделать замену и на 8 7 и 8/ . Отсюда следует вывод, который ранее был получен из геометрических соображений, — окольные пути, на которых 8 5 делается нулем, принадлежат к числу истинных, бесконечно близких к истинному пути (14). [c.655] Перейдем к вопросу о суш.ествовании окольных путей, на которых 825=0. Из сказанного ясно, что положительный ответ может быть дан, если уравнения в вариациях (18) имеют нетривиальные решения. [c.655] В вариационном исчислении условие (24) называется условием Якоби, а (29) — условием Лежандра. В задачах механики последнее оказывается требованием положительной знакоопределенности кинетической энергии и поэтому всегда соблюдается условие Якоби выполняется на истинных путях, не проходяш.их через соответствуюш.ий начальному положению кинетический фокус. [c.660] Отсюда находится момент прохождения кинетического фокуса, соответствующего начальному положению системы ). [c.665] Этот пример рассмотрен в статье О. Гельдера и в Теорети юской механике Г. К. Суслова (Гостехиздат, 1944, стр. 362—363). [c.670] Вернуться к основной статье