ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания и устойчивость в гамильтоновых системах из "Курс лекций по теоретической механике " Определение. Матрицу вида З В, где - симплектическая единица, а 5 - симметрическая матрица, называют гамильтоновой матрицей. [c.451] Теорема 1. Если А, - корень характеристического уравнения, то (-А,) тоже его корень, т.е. из d(k) = О = d -X) = 0. Доказательство. [c.451] Теорема 2. Для устойчивости тривиального решения гамильтоновой системы необходимо, чтобы все характеристические числа матрицы были чисто мнимые. [c.452] Доказательство. Если Ке 1 Ф О, то обязательно сугцествует корень (к = У которого Ке О, и решение неустойчиво. [c.452] Теорема 3. Полином Р(К) - возвратный, т.е. [c.452] Следствие 1. Если к - корень р(А), то 1/А - тоже корень р(к). [c.452] Следствие 2. Пусть матрица А - вещественная, тогда если А - комплексный корень р(К), то А (комплексно-сопряженное А число) тоже корень р к). [c.452] Теорема 4. Если хотя бы один корень Хк характеристического полинома вещественной матрицы А не лежит на единичной окружности комплексной плоскости А, то преобразование неустойчиво. [c.453] Таким образом, II II = р П Н и для любого II П О и любого 8 О можно указать М, когда II II 8. [c.453] Теорема 5. Если все собственные значения А,1, Х2,. .., 2 различны и лежат на единичной окружности, то преобразование 21 = А2о устойчиво. [c.453] Теорема 6. Если А - устойчивое симплектическое преобразование и все собственные числа матрицы А различны, то это преобразование - сильно устойчиво. [c.454] Этого не может быть, так как в этом случае оказалось бы, что корней больгпе, чем 2т. [c.455] Следствие. Собственное значение может покинуть единичную окружность, только столкнувгпись с другим собственным значением (рис. 169). [c.455] Определение L Преобразование Xq Xi. Xi = X(tQ + T, io)Xq называется отображением за период. [c.457] Определение 2. Отображение за период называется устойчивым в будущем, если для Ve О 3O О и для Vxo I Xq I O = = II X (tQ + T, io)xo II e для /N 0. [c.457] Теорема 7. Если отображение за период является преобразованием устойчивым в будугцем, то тривиальное регпение х = О устойчиво. [c.457] Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458] Интегрирование надо вести только на отрезке [ о о + с]. В этом сугцественная специфика разрешения проблемы устойчивости для линейных систем спериодическими коэффициентами. [c.458] Так как 2 = г С(т), то из (25) следует (24). [c.459] Вернуться к основной статье