ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение твердого тела из "Курс лекций по теоретической механике " Теорема Пуассона. Если /1(2, I) и Д(г, I) - два первых интеграла уравнений Гамильтона (5), то их скобка Пуассона тоже является первым интегралом. [c.363] Из (9)-(11) следуют —(/ьД) = О и доказательство теоремы. [c.363] Замечание. Казалось бы, что, зная два первых интеграла, таким путем можно получить любое число нужных для интегрирования задачи первых интегралов. К сожалению, это, вообще говоря, не так. Как правило, интегралы / и /2 либо находятся в инволюции и (fl, /2) = О, либо в результате получается интеграл /з = (/ь /2), зависящий от / и /2. Напомним, что интегралы - (/г, /2. /к) называются независимыми, если ранг матрицы ЭГ/Эг размера к х 2т равен к (максимален). Однако не стоит пренебрегать вычислением скобок Пуассона для известных интегралов, так как возможность таким путем нахождения первого интеграла задачи не исключена. [c.364] Тем самым справедлива следующая теорема. [c.365] Теорема. Если для системы материальных точек два компонента вектора момента количества движения системы сохраняются, то сохраняется и третий. [c.365] В частности, из соотношений между Ю и следует, что если система имеет два векторных интеграла 2 = onst и К = onst, то бесполезно пытаться с помощью скобок Пуассона получить какой-либо новый интеграл. [c.365] очевидно, что I dt = -дН / Эql =0, = Р1о суть к первых интегралов. [c.365] Таким образом специальный вид к интегралов (р = onst) позволяет в этом случае понизить порядок системы на 2к, сохранив ее гамильтонову форму. [c.366] Теорема о понижении порядка автономной системы уравнений Гамильтона. Автономную систему уравнений Гамильтона порядка 2т можно свести к гамильтоновой системе порядка 2(т - 1). [c.366] Тогда система уравнений (18) локально интегрируется в квадратурах. Доказательство теоремы основано на следующей лемме. [c.368] Используя лемму 2, можно показать из условия, что ранг дflдz = m, и из (20) следует, что условие ( ) будет выполнено непосредственно или после симплектической перестановки координат х. [c.369] Нетрудно проверить, что элементы с/-матрицы С определяются скобками Пуассона (с/ =(/,/у)), и в рассматриваемом случае матрица С равна нулю. [c.369] Следовательно, вектор-функция p = f(z) действительно определяет зависимость новых импульсов от старых переменных г. [c.370] Для определения решения в исходных переменных необходимо вычислить квадратуры (25). То есть для получения в некоторой области переменных р, q общего решения достаточно уметь вычислить соответствующие квадратуры и разрешить неявные функции. Такие задачи называются интегрируемыми. Тем самым теорема Лиувилля утверждает, что знание всего т независимых первых интегралов в инволюции гарантирует интегрируемость уравнений Гамильтона. В этом одна из специфических особенностей гамильтоновых систем. [c.370] Вернуться к основной статье