ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические преобразования и уравнения ГамильтонаЯкоби из "Курс лекций по теоретической механике " Поэтому ж - симплектическая матрица. [c.327] Это преобразование симплектическое. [c.327] Существует стандартный симплектический диффеоморфизм р, q — р, в котором координаты q преобразуются согласно (31). [c.328] Рассмотрим, как преобразуется система уравнений (1) при автономном преобразовании (3). [c.329] Теорема 1. а) Автономный симплектический диффеоморфизм сохраняет форму уравнений Г амильтона. [c.329] Таким образом, система уравнений в новых переменных гамильтонова. [c.329] Теорема 2. О канонических преобразованиях. Произвольное автономное каноническое преобразование является суперпозицией симплектического диффеоморфизма и преобразования растяжения . [c.330] Пояснение. При доказательстве теоремы существенно используется свойство канонических преобразований сохранять форму любой гамильтоновой системы. Приведем пример, когда преобразование, сохраняющее гамильтонову форму данной конкретной системы, не является каноническим. [c.330] Для доказательства теоремы 2 нам потребуется следующая лемма. [c.331] Таким образом, преобразование z = f(z ) - автономное симплектическое преобразование, и теорема доказана. [c.333] Замечание. Возможность использования растяжения следует иметь в виду. Однако существенного упрощения системы уравнений можно добиться лишь преобразованиями симплектического диффеоморфизма. Только ими в дальнейшем мы и будем заниматься. [c.333] Если рассматриваемая система уравнений Гамильтона не является автономной, то упрощения задачи можно ожидать, лишь применяя неавтономные преобразования. Неавтономный случай удается свести к автономному с помощью описанного ниже специального приема. [c.333] Система уравнений а) и б) не зависит от /г и полностью эквивалентна исходной системе (1). [c.334] То есть дополнительная переменная Ь с точностью до знака совпадает с гамильтонианом исходной задачи. [c.334] И эквивалентна ей. Тем самым доказана следующая основная теорема о неавтономном стандартном симплектическом диффеоморфизме. [c.335] Формула (24) является одной из основных формул гамильтоновой механики. Она будет неоднократно использоваться. [c.336] Следствие. Любой симплектический диффеоморфизм -каноническое преобразование. [c.336] Вернуться к основной статье