ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Производящая функция симплектического диффеоморфизма из "Курс лекций по теоретической механике " Соотношениями 1) и 4) записаны указанные в формулировке леммы условия симметричности матриц. Соотношение 2) следует из 3) после применения операции транспонирования. [c.315] Упражнение. Докажите, что столбцы симплектической матрицы Ш1 определяют некоторый симплектический базис в арифметическом пространстве Покажите, что из этого факта сразу следуют соотношения (2). [c.315] Справа форма записана в координатном виде. [c.315] Как известно из анализа, для того чтобы форма (6) в некоторой области была полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы матрица ЭА/Эг была симметрической. Это - так называемые условия интегрируемости. [c.316] Средний член в соотношении (8) есть сумма симметрических матриц д р , умноженных па числа и, следовательно, это симметрическая матрица. Обозначим ее буквой С. [c.316] Так как С - симметрическая матрица, то для симметричности ЭА/Эг необходимо и достаточно симметричности В, т.е. [c.317] Теорема 2. О производящей функции стандартного симплектического диффеоморфизма. [c.318] Тем самым (14) действительно определяет взаимно однозначное отображение, дифференцируемость которого обеспечивается достаточной гладкостью функции S. [c.318] Определение. Функция 5, рассматриваемая в теореме 2, называется производящей функцией стандартного симплектического диффеоморфизма (или просто производящей функцией). [c.319] При этом функция 5, вообще говоря, будет производящей функцией стандартного симплектического диффеоморфизма только для тех t, для которых в рассматриваемой области q, р выполнено условие (13). То есть утверждения этой теоремы верны, вообще говоря, только локально. [c.319] Выше была доказана теорема о производящей функции стандартного симплектического диффеоморфизма. Ниже мы сформулируем и докажем более сильное утверждение. [c.319] Определение. Преобразование будем называть /-й перестановкой. [c.319] И использовать следующую лемму. [c.321] В дальнейшем нам потребуется следующая лемма. [c.322] Отсюда следуют det = det- и утверждение 1. [c.323] В заключение этого параграфа воспользуемся разработанным аппаратом производящих функций для доказательства следующей теоремы. [c.324] Теорема 4. Определитель симплектической матрицы 2S равен +1. [c.324] Без ограничения общности можем полагать, что det 22 О- Если для Ж это условие не выполняется, то рассмотрим Ж = ПЖ, где П - матрица симплектической перестановки. При каждой элементарной перестановке мы меняем местами две строки матрицы Ж и изменяем знак одной из них. Поэтому det (Э , Ж) = = det Ж. Так как любая перестановка есть суперпозиция элементарных перестановок, то det Ж = det Ж. Согласно теореме 3, выбором П можно получить матрицу Ж, у которой det Д22 0. [c.324] Вернуться к основной статье