ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Донкина (или теорема о преобразовании Лежандра) . Примеры вычисления обобщенных импульсов из "Курс лекций по теоретической механике " Если (1) - уравнения голономной механической системы, в которой силы имеют потенциал U q, О (или обобщенный потенциал V(q,4,0), то Ь = Т(q,(и)-11 (q,О (илиЬ = Т-У). [c.295] Систему уравнений (5) можно записать в более красивом и удобном для анализа виде, если ввести функцию Гамильтона Я(р, q, /), которую иногда кратко называют гамильтонианом задачи. По определению. [c.296] И на место векторного аргумента в лагранжиан Ь подставлено его представление (4). [c.296] Переменные р и д, в которых уравнения имеют форму Гамильтона, называются каноническими. Пары р называются сопряженными переменными задачи. Или подробнее импульс р сопряжен обобщенной координате д Их положение в векторе г не произвольно. Если р расположена на г-м месте, то д - на (т + 0-м месте. [c.297] Введенная в рассмотрение симплектическая единица обладает некоторыми простыми свойствами, которые мы будем в дальнейшем использовать. [c.297] Соотношения между переменными q,q,t и p,q,/ и функциями L и Я являются частным случаем ситуации, рассматриваемой в теореме Донкина. [c.298] Здесь и ниже мы указываем отображения пространства, однако имеется в виду, вообще говоря, отображение некоторых областей в пространствах / и К . Все рассматриваемые отображения будем предполагать достаточно гладкими. [c.298] Это преобразование называется преобразованием Лежандра. [c.299] Так как f и Ф взаимно обратные отображения, то f(Ф(x,a),a) = = х и ег = Х(х,а). [c.300] Из соотношения (21), в частности, следует, что дЫ йт = -дН дт, и функция Гамильтона не будет зависеть явно от времени в том и только в том случае, когда не зависит явно от времени функция Лагранжа. [c.300] Следствие. Если, кроме того, и не зависит явно от времени, то Я - полная механическая энергия системы, выраженная в канонических переменных. [c.300] Замечание. Условия, сформулированные в лемме, и ее следствие часто выполняются в приложениях. Однако следует опасаться автоматически отождествлять Я с механической энергией системы. [c.300] Теорема. Гамильтониан автономной задачи является первым интегралом соответствующей системы уравнений в форме Гамильтона. [c.301] Таким образом, одна циклическая переменная позволяет понизить порядок системы на две единицы. [c.302] Так как р лишь постоянным множителем отличается от ф, то фазовый портрет задачи в канонических переменных р, ф в данном случае совпадает с фазовым портретом в переменных ф, ф. [c.302] Примеры вычисления обобщенных импульсов. [c.302] Вернуться к основной статье