ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Взаимодействие двух заряженных частиц по закону Кулона . Взаимодействие двух молекул из "Курс лекций по теоретической механике " В общем случае функции f(q, и) таковы, что выполнены условия теоремы сугцествования и единственности регпений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой теоремы следует, что за исключением особых точек (где и = О и f(q, и) = 0) фазовые траектории не могут пересекаться. Часто задача анализа поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве является более важной и более простой задачей, чем нахождение полного решения q(i). Это, в частности, было показано на рассмотренных примерах. При т = I фазовое пространство двумерно, и результат анализа можно и полезно, как это было сделано, представить в плоскости ( , ). В этом случае изображение качественной картины фазовых траекторий иногда называют фазовым портретом задачи. [c.263] Если функция Лагранжа явно зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве, вообще говоря, пересекаются. Поэтому вводят в рассмотрение расширенное фазовое пространство хК - прямое произведение фазового пространства и оси времени. Все отмеченные здесь понятия относятся к общей теории дифференциальных уравнений, и неудивительно, что мы фактически повторно обсуждаем вопросы, о которых уже упоминали в 1.5 в связи с уравнениями механики свободной системы в декартовых координатах. [c.263] Если мы рассмотрим эту задачу в цилиндрических координатах q = (р,ф,г), то уравнение связи ( ) можно записать в следующем виде р = /(г), геК. [c.263] Это уравнение типа рассмотренного в 4.7. [c.264] То есть по окружности О 1 2т1 изображающая точка перемещается равномерно. [c.266] Таким образом, в процессе движения материальной точки по поверхности изображаюш,ая точка па окружности О 2 2ti движется равномерно. [c.267] Из проведенного рассмотрения следует, что каждой точке фазового пространства (г, ф, ф), удовлетворяющей уравнениям (2) и (3) при фиксированных значениях констант интегралов а и а2, взаимно однозначно соответствует точка двумерного тора Г , который является прямым произведением двух окружностей О 271 и О 2 27Г (рис. 97). [c.268] Каждой траектории в фазовом пространстве соответствует кривая на торе отображение в Р. Это отображение задается двумя функциями (О и 2(0- Как мы показали, координаты и 2 выбраны так, что для любой траектории и ( 2 - постоянные величины (они зависят только от уравнений поверхности и постоянных ах и а2 и при фиксированных а1 и аг для всех траекторий одинаковы). [c.268] Так как траектории в фазовом пространстве не могут пересекаться, то их образы на не пересекаются. Период т и параметр а являются функциями констант интегралов и а2 и функционалами, зависящими от вида поверхности р = /(г). Может оказаться, что через время пх п - целое), когда точка на торе совершит п полных оборотов по угловой переменной переменная 2 изменится на 2т1р п, р - взаимно простые целые числа). То есть по д2 точка совершит р полных оборотов. Как следует из (12), для этого необходимо и достаточно, чтобы а = р/п. В этом случае каждая траектория на торе будет замкнутой линией и движение будет периодическим с периодом пх. На рис. 98 изображена такая траектория для случая п = 1,р = 2. [c.268] Если при некоторых условиях а - рациональное число и движение периодическое, то при сколь угодно малых изменениях начальных данных или уравнения поверхности а становится, вообще говоря, иррациональным числом, и движения на торе становятся условно-периодическими. Верно и обратное. Так как рациональные числа плотны на множестве вещественных чисел, сколь угодно малой вариацией начальных данных условно-перио-дическое движение можно сделать периодическим (возможно с очень больгпим периодом). [c.269] Как мы покажем в дальнейшем при анализе гамильтоновых систем уравнений, подчеркнутые особенности движений в рассматриваемой задаче суть проявление общих закономерностей в так называемых потенциальных интегрируемых задачах механики. [c.269] При этом отмеченная близость в пространстве начальных данных периодических и условно-периодических решений порождает специфические сложности при исследовани задач, близких к интегрируемым . [c.269] Укажем некоторые из таких задач. [c.270] В отличие от задачи двух тел, где физический смысл имеют только значения Х О, в этой задаче 1 О для зарядов разных знаков и 1 О для одноименных зарядов. [c.271] Если зависимость r(i) определена из решения уравнения (5), то (100 определяет ri(t) и Г2(0- Кроме задач о взаимодействии двух частиц к уравнению (1) сводится еш е ряд других задач. [c.271] Лемма 2. Движение в центральном поле происходит по плоской кривой в Ю. Эта плоскость проходит через начало координат. [c.272] Замечание. Построение системы координат Е и соответст-вуюгцих цилиндрических координат опиралось только на постоянство направления вектора с = [г, ]. Однако постоянен и его модуль. Это условие, будучи записанным в цилиндрических координатах, и определяет первый интеграл (14). [c.273] Упражнение, Докажите это. Покажите, что (1/2) ф - площадь, заметаемая радиусом-вектором точки в единицу времени (эта величина называется секториалъной скоростью). Покажите, что (14) непосредственно следует из теоремы площадей (см. 3.5). [c.273] Упражнение. Запишите уравнения Лагранжа с функцией Лагранжа, определенной ( ). Вычисляя производную по времени от /г (15) в силу уравнений движения, покажите, что ёкШ = 0. [c.274] Вернуться к основной статье