ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Различные формы уравнений Лагранжа. Интеграл энергии и интеграл Якоби из "Курс лекций по теоретической механике " В обгцем случае решение (3) не удается выразить через элементарные функции или даже через интегралы от элементарных функций. Поэтому обгцим методом приближенного решения уравнений (2) на ограниченных интервалах времени являются различные варианты метода численного интегрирования. Этот метод успешно используется в большинстве практических задач. Однако во многих задачах механики представляют интерес исследования всех возможных траекторий движения системы в обобщенных координатах. Методами численного интегрирования это сделать не удается. [c.222] Поэтому особое внимание уделяется тем задачам, в которых удается получить решение системы, записанное через элементарные функции или интегралы от них. Такие задачи называются интегрируемыми. Многие практически важные задачи оказываются в определенном смысле близкими и интегрируемыми. Опираясь на эту близость , часто удается на основе анализа интегрируемых задач получить представление об общих свойствах решений в задачах, близких к интегрируемым. [c.222] Случай голономных связей и потенциальных сил описывает лигпь специальный класс механических задач. Однако этот класс достаточно широк. Более того, большинство задач теоретической физики принадлежит этому классу. [c.223] Упражнение. Проведите все необходимые рассуждения. [c.223] Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, д, а траекториями движения являются кривые в на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в они описываются уравнениями (6). [c.224] Можно рассматривать задачи, в которых (д, 4,1) достаточно произвольные функции указанных аргументов. Однако, как мы знаем, в задачах механики функция L(q, 4,1) должна быть квадратичной функцией обобщенных скоростей ][. [c.224] Определение. Системы, описываемые уравнениями Лагранжа (6), где L - квадратичная функция д, называются натуральными. [c.224] В случае потенциальных сил нет надобности специально определять обобщенные силы О надо только выразить потенциал через обобщенные координаты и составить функцию Лагранжа. [c.224] зная q ( ), мы сможем определить q(i). [c.224] Проведем теперь рассуждения, которыми мы уже пользовались. [c.224] Это свойство уравнений Лагранжа называют их ковариантностью. [c.225] Упражнение. Формальной заменой д = р(д,/) в уравнениях (6) получите уравнения (б ). [c.225] Сейчас мы будем рассматривать этот более обгций случай. [c.226] Вернуться к основной статье