ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Г лава XI ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СРЕД, ОГРАНИЧЕННЫХ НЕСКОЛЬКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ Основные граничные задачи упругого равновесия из "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 " Система дифференциальных уравнений термоупругости (1.1) состоит из уравнения движения упругой среды, принадлежащего гиперболическому (вырожденному) типу и из уравнения теплопроводности, относящегося к параболическому типу. Эта система, как уже отмечалось (см. I, 15, п. 1), не входит в известные канонические классы уравнений математической физики. [c.418] Несмотря на это, как мы видели, для системы (1.1) и системы уравнений термоупругих колебаний (1.2) оказываются корректными соответственно начально-граничные (смешанные) и граничные задачи, так же как это имеет место для системы дифференциальных уравнений теории упругости. [c.418] Вместе с тем,- уравнения термоупругости обнаруживают принципиально новые черты по сравнению с уравнениями теории упругости. [c.418] Прежде всего это относится к вопросу о существовании частот собственных колебаний ограниченного тела. С точки зрения уравнений теории упругости, для таких тел существует дискретное (счетное) множество собственных частот (см. гл. VII, теоремы 1.3 и 1.4). С точки зрения уравнений термоупругости, вообще говоря, вопрос остается открытым во всяком случае, можно указать класс задач, когда собственные частоты отсутствуют. [c.418] Мы покажем сейчас на примере (см. Dafermos [1]), что существуют случаи, когда решения задачи (4.73) суть только тождественные нули. [c.419] И наше утверждение доказано. [c.419] Отсюда ясно, что в данном случае задачи термоупругости, которые приводят к задаче (4.73) (см. 2, п. 6), в области О не имеют собственных частот, и внутренние неоднородные задачи разрешимы для произвольных граничных значений из допустимого класса. [c.419] Предоставляем читателю построить пример, который позволит сделать аналогичный вывод для задач термоупругости, приводимых к задаче (4.74) (см. 2, п. 6). [c.419] Второе обстоятельство, которое качественно отличает термоупругую трактовку от чисто упругой, обнаруживается при рассмотрении внешних задач. [c.420] В термоупругих задачах фаза, соответствуюш.ая продольным колебаниям, расш.епляется на две фазы, которые с возрастанием расстояния убывают по экспоненциальному закону и лишь поперечные колебания сохраняют характер медленно затухающих упругих поперечных колебаний. Этому соответствует тот факт, что условия термоупругого излучения содержат одно условие типа условия Зоммерфельда, в то время как в условиях упругого излучения их два. [c.420] В статье Dafermos [1] доказывается, что решение уравнения термоупругости с однородными начально-граничными условиями при i — оо почти всюду стремится к нулю. Это находится в согласии с рассмотренным выше свойством установившихся термоупругих колебаний. [c.420] Указание Исследовать зависимость от параметра т решений промежуточных задач, которые выражены в квадратурах, и затем применить способ решения динамической задачи, описанный в настоящей главе. [c.421] В этой главе рассмотрены различные основные и смешанные граничные задачи статики и-гармонических колебаний классической теории упругости для конечных и бесконечных областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями. Построены соответствующие тензоры Грина и доказаны теоремы существования и единственности решений указанных задач. [c.422] Вернуться к основной статье