ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ Первая основная задача из "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 " Задачи колебания стали предметом систематического изучения позже задач равновесия. [c.310] Самой значительной работой классического периода, посвященной этим вопросам, является статья Вейля 1915 г. об асимптотическом законе распределения частот собственных колебаний трехмерного упругого тела произвольной формы (см. Н. Weyl [1]). Собственные колебания характеризуются тем, что вектор смещения и (х) зависит от времени по закону Л = 1, 2,. . где постоянные служат частотами собственных колебаний. [c.310] Цикл работ по теории колебаний упругих тел принадлежит В. Д. Купрадзе в них построена общая теория первой и второй основных задач для внешней (бесконечной) среды на базе принципа излучения, распространенного для упругих колебаний (см. Купрадзе [6, 13]). [c.311] Еще раньше аналогичная теория внешних задач метагармонического уравнения и системы уравнений Максвелла была изучена в работах Купрадзе [2, 4] и И. Векуа [1]. [c.311] Распространение теорем о свойствах собственных функций и собственных частот для задач (III) и (IV) дается в работе Амашукели [3, 4]. [c.311] Задачи, в которых, кроме граничных условий, удовлетворяются и начальные условия, называются начально-граничными, смешанными или динамическими задачами. В отличие от задач об установившихся колебаниях, в собственно динамических задачах изучается распространение колебаний. [c.312] В простейшем и наиболее важном для приложения случае линейной теории однородных изотропных упругих тел задача сводится к разысканию интегралов вырожденной гиперболической системы дифференциальных уравнений теории упругости или системы уравнений термоупругости, которая не относится к классическим каноническим типам, удовлетворяющих в некоторой области D X [О, оо) заданным начальным и граничным условиям (I, 14 и 15). [c.312] При изучении этих задач возникают новые математические трудности, которые соответствуют усложнению физической картины динамического состояния по сравнению со статическим состоянием или с установившимися колебаниями. [c.312] В бесконечной однородной изотропной упругой среде возможны два типа распространяющихся фронтов упругих колебаний — продольные и поперечные. [c.312] В ограниченных телах, имеющих отражающие границы, число перемещающихся фронтов растет вместе со временем, и напряженное состояние тела есть результат наложения совокупности падающих и отраженных волн в некоторых случаях (в области взаимодействия разнородных сред) возникают также так называемые поверхностные и обменные волны. [c.312] Математический аппарат для описания этой физической картины едва ли может быть достаточно простым и в самом деле, трехмерные задачи динамики в общем виде до сих пор мало исследованы по сравнению с другими задачами теории упругости, по крайней мере теми методами, которыми последние изучены достаточно хорошо. [c.312] Наиболее известные из имеющихся результатов отйосятся к изучению бесконечного пространства с начальными условиями (задача Коши), краевых задач для полупространства и некоторых специальных областей, допускающих разделение переменных. [c.312] однако, потребовать от поверхности и других данных задачи повышенную степень гладкости по сравнению с той, которая требуется в задачах статики и установившихся колебаний, то при некоторых условиях согласования данных оказывается возможным не только доказать теоремы существования, но и получить сравнительно простые аналитические представления решения. [c.312] В класс функции С D х [О, оо)[ ]С D х [О, оо) или D х Х[0, оо) ПС D X [О, оо) . [c.313] Следует заметить, что эти требования, существенные с математической точки зрения, не являются столь же существенными с точки зрения приложений. Так, например, поверхности, применяемые в технике и допускающие хотя бы однократное дифференцирование, практически почти всегда имеют несколько следующих производных. Исключение составляют поверхности с углами и ребрами но и для таких поверхностей полученные решения могут служить приближенными решениями, если считать углы и ребра соответствующим образом сглаженными. [c.313] Независимо от сказанного, проблема расширения класса данных задачи, при которых еще существуют корректные классические решения, является важной математической задачей. Здесь этих вопросов касаться не будем. [c.313] Вернуться к основной статье