ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория термоупругости Задачи для неоднородных сред из "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 " Как уже отмечалось выше, основной задачей теории упругости является определение упругого (динамического, статического или колебательного) состояния среды в классической и моментной теории упругости и термоупругого (динамического, статического или колеба гельного) состояния — в теории термоупру гости. [c.53] Все сказанное справедливо, когда речь идет об одном-единственном, каким-либо образом определенном состоянии. Но состояние среды, например, упруго-динамическое, соответствующее массовой силе ЗГ, не определяется единственным образом. [c.53] В 1—10 было рассмотрено деформированное состояние среды, создаваемое внешними воздействиями. В классической теории упругости под внешним воздействием понимаются массовые силы и внешние напряжения, которые задаются независимо друг от друга в моментной теории внешними воздействиями считаются, кроме массовых сил и моментов, внешние силовые и моментные напряжения, и для определения единственно возможного деформированного состояния необходимо задать все эти величины. [c.53] Кроме того, при выводе основных соотношений мы исходим из определенного первоначального состояния. Предполагалось, хотя легко освободиться от этого ограничения, что в начальный момент среда находится в состоянии покоя. Если бы мы исходили из другого начального состояния, то получили бы другую картину деформированного состояния. Таким образом, для единственности упругого состояния необходимо задавать и начальное состояние. [c.53] Формулируя аксиомы упругих (термоупругих) состояний, мы не при нимаем во внимание внешние поверхностные воздействия, испытываемые изучаемой средой через свою границу. Мы не учитываем также механического состояния среды до интересующего нас момента времени, хотя от этого явно зависит ее динамическое состояние. Поэтому, естественно, упругие состояния, описываемые введенными аксиомами, определены неоднозначно. Этому соответствует тот факт, что общие решения дифференциальных уравнений упругих состояний содержат произвольные функции. [c.53] Между тем, в реальных условиях всякое упругое (термоупругое) состояние реализуется вполне однозначно или обладает физически допустимой многозначностью. Реализуемые в действительности упругие состояния суть те частные (конкретные) состояния, которые отбираются из всей совокупности упругих состояний, описываемых аксиомами, по дополнительному требованию, состоящему в удовлетворении определенных граничных и начальных условий. [c.53] Таким образом, если доказано существование и единственность состояния, удовлетворяющего аксиомам, граничным и начальным условиям, и непрерывно зависящего от данных задачи, то можно надеяться, что построено математическое описание физически реализуемого упругого состояния. Поставленная так задача называется корректной ). [c.54] После этого имеет смысл поставить весьма важную задачу о фактическом конструировании этого состояния в том или ином смысле например, получение его приближенного числового значения с помощью практически осуществимых вычислений (например, на базе ЭВМ). [c.54] Доказательству существования, единственности, непрерывной зависимости от данных и фактическому конструированию упругого (термоупругого) состояния посвящается настоящая книга. [c.54] Матрицу (вектор) назовем регулярной, если все ее элементы (компоненты) регулярны. [c.54] Орт нормали поверхности 5 в точке х (х 5), внешней по отношению к обозначим через п (л ). Через п будет обозначен этот орт в точке у 3. Таким образом, п п (у). [c.54] В задачах математической физики нередко встречаются некорректно поставленные задачи. (Интерес к таким задачам возрос в последние годы (см. Тихонов [1 ], Лаврентьев [1,2] и др.). С некорректно поставленными задачами приходится иметь дело и в этой книге. Отметим, что при исследовании этих задач существенно применяются решения некоторых специально построенных корректных задач. [c.54] Каждый из трех типов содержит шесть основных задач. [c.55] Для краткости будем обозначать эту задачу через (I) [(I) ] и называть ее первой внутренней [внешней ] задачей динамики. [c.55] Обозначим эту задачу через (П) 1(П) ] и назовем ее второй внутренней [внешней] задачей динамики. [c.55] Третья и четвертая основные задачи отличаются от предыдущих граничными условиями. [c.55] Граничными условиями отличаются от остальных пятая и шестая задачи (задачи (V)= и (VI) ). [c.55] Если в предложении участвуют двойной знак или ,то это предложение следует понимать как сокращенную запись двух предложений одно — когда (в этом предложении двойной знак заменяется верхним знаком, и второе — когда нижним. [c.55] Не исключается случай, когда одно или два из этих множеств—пустое множество. Если, например, 2 = S — 8 = 0, то 5 = и пятая задача сводится к первой. [c.55] В первой задаче на границе заданы смещения, во второй — внешние напряжения. В третьей задаче на границе задаются нормальная составляющая смещения и касательные составляющие внешних напряжений, в четвертой, наоборот, на границе задаются нормальная составляющая напряжения и касательные составляющие смещения. В пятой задаче граница среды разделена на четыре части, на одной части задаются смещения, на другой — напряжения, на третьей — нормальная составляющая смещения и касательные составляющие напряжения, на четвертой — нормальная составляющая напряжения и касательные составляющие смещения. Наконец, в шестой задаче на границе задается специальная комбинация смещений и напряжений. [c.56] Вернуться к основной статье