ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Моментная теория упругости из "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 " Ниже применяются следующие обозначения / — множество действительных чисел Z — множество комплексных чисел = [/о = = ё /о 3 — трехмерное евклидово пространство х = = (Хг, з) = ( г), У = (У1, У2 Уз) = (Уд . .. — точки пространства Е О — область из 3 с кусочно-гладкой границей 8 О = О [ 8. [c.41] Заданием упругой среды с математической точки зрения можно называть задание области, занимаемой средой в некоторый момент времени tQ и постоянных величин плотности р и постоянных Ламе X и 1 в классической теории упругости постоянных р, X, [х, а, 7, 8, и, р — в моментной теории упругости р, X, х, 7, х, т] — в термоупругости. В связи с этим, среду и область, занимаемую средой, будем обозначать одной и той же буквой О. Если необходимо подчеркнуть, что среда О характеризуется постоянными р, Ху 1 (рассматривается классическая теория), то для ее обозначения будем употреблять запись О (р, X, [х). Аналогичный смысл имеют записи О (р, X, л, а, 7, в, о, Р), О (р, X, л, 7, X, т]). Эти постоянные должны удовлетворять некоторым соотношениям вида (7.20). [c.41] Высказывание ф есть действительная функция, определенная на множестве заменим краткой записью ф теперь очевиден смысл записи ф , 5 — Z — ф есть комплекснозначная функция, определенная на множестве Ф . [c.41] Для построения математической теории упругости необходимо ограничить рассматриваемые функции некоторыми требованиями гладкости. Приведенные выше выводы основных соотношений (уравнения движения, закон Гука и т. д.) справедливы только при соблюдении некоторых условий гладкости рассматриваемых функций. До сих пор на эти функции не накладывались какие-либо ограничения. Рассуждения носили формальный характер или, как иногда говорят, требовалось все, что было нужно для справедливости применяемых выкладок. Цель такого рассмотрения, как отмечалось выше, — выработать некоторые соображения, которые позволят сформулировать аксиоматическую теорию вопроса. Именно этим займемся в настоящем параграфе. [c.41] Если ф принадлежит классу (Й), k — произвольное неотрицательное целое число, то будем писать, что ф (й). [c.42] Пусть S — произвольное подмножество границы dQ. [c.42] Таким образом, например, Ф 6 (й) означает, что ф (Й) и ф и все ее производные до порядка k включительно непрерывно продолжимы в каждой точке границы Й. [c.42] Хц О X У ) и называется вектором смещения, а М/ — компонентой (вектора) смещения т — тензором напряжения, а —компонентой (тензора) напряжения. [c.43] Соотношение (11.2) называется уравнением упруго-динамического состояния, а соотношение (11.3) — законом Гука. [c.43] На языке предыдущих параграфов содержание определений (11.6) и (11.7) можно изложить так. Рассматривается изотропная и однородная (по отношению к упругим свойствам) среда с постоянными Ламе А, и ы. Плотность масс этой среды, обозначаемая через р, предполагается постоянной. Предполагается также положительная определенность удельной энергии деформации (см. (6.19)). Компоненты напряжений считаются непрерывно дифференцируемыми как по декартовым координатам точки среды, так и по времени, а компоненты смещений — дважды непрерывно дифференцируемыми по тем же переменным (предположение I из 11.7). Предполагаются также применимыми уравнения движения (4.3) (предположение II из 11.7) и закон Гука (5.15) (предположение III из 11.7). [c.43] Определения 11.6 и 11.8 означают, что рассматривается ситуация, описанная в 11.6 и 11.7, с той разницей, что внешние воздействия, а также смеш,ения И напряжения, не меняются во всем рассматриваемом промежутке времени. [c.44] Определения 11.6 и 11.9 представляют собой аксиоматическое изложение основ стационарных колебаний, рассмотренных в 10. [c.44] Соотношение (11.8) называется уравнением упруго-колебательного состояния, а (11.9) — законом Гука. [c.44] Соотношения (11.12) и (11.12 ) называются уравнениями упруго-динами-ческого состояния, а (11.13) и (11.13 ) — законом Гука. [c.45] Приведенные аксиомы определяют однородную и изотропную среду с центром симметрии и ее динамическое состояние с точки зрения моментной теории (ср. с (4.3), (4.6), (7.21), (7.2Г)). [c.45] Упруго статическое состояние получается фактически из упруго-динамического состояния, если предположим, что массовая сила и массовый момент, а также смещения, вращения и напряжения (силовые и моментные) не зависят от времени в рассматриваемом промежутке. [c.45] Соотношения (11.18) и (11.18 ) называются уравнениями упруго-колеба-тельного состояния, а (11.19), (11.19 ) — законом Гука. [c.46] Вернуться к основной статье