ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Солитонные волны на поверхности колкой воды из "Нелинейные задачи гидродинамики " Мы рассмотрим обычные гравитационные волны на поверхности мелкой воды. При этом жидкость будем считать несжимаемой, а глубину бассейна малой по сравнению с длиной волны. [c.38] пусть Ьд - глубина невозмущённой воды, ah(x,t) -глубина в данной точке х в момент времени t. При этом X -горизонтальное направление, вдоль которого распространяется волна (рис.Г ). [c.38] При этом мы пренебрегаем как внутренним трением, так и трением воды о дно бассейна, которые приводят к затуханию волн. [c.38] в соответствии с (12) скорость волны зависит от её амплитуды для волны, идущей вправо (знак + в уравнении (12) ) скорость волны повышается при V О и понижается п] ж о Это приводит к увеличению крутизны фронта относительно точки, где V О (узла волны), показанночу на рис.18. [c.40] На этом же рисунке пунктиром изображён профиль скорости в начальный момент вгчмени t = 0. Если выполняется точное соотношение t =, то разрыв в точке ]ас= УС бесконечен. Если же время t, то зависимость является гладкой в меру. [c.41] Общее заключение об опрокидывании волны есть следствие. нелинейного члена в уравнении Навье-Стокса и не связано с конкретным выбором начального профиля волны, а также с конкретным примером мелкой воды. Кроме того, мы получили, что любая сколь угодно слабая волна за достаточно длительное время опрокидывается. Чем меньше амплитуда волны, тем больше это время. При фиксированной амплитуде скорости время опрокидывания растёт с ргостом длины волны (см. (18) ). [c.41] При подстановке выражений (4) в уравнения (I) и (3) по следние удовлетворяются тождественно в ранках указанной точности по степеням ка. [c.43] Мы добавили в это уравнение нелинейный член уравнения Навье-Стокса (выше он всюду подразумевался, но не записывался с целью избежать громоздкости уравнений). [c.43] Интегрируя это уравнение по , находим -Уу + у /2 + и Ьд/б)у в С. [c.44] Константу интегрирования в этой соотношении можно положить равной нулю, не нарушая общности задачи, путей перехода в соответствующую инерциальную систеиу координат (скорость V также сдвигается при этом на ту же величину), движущуюся относительно данной с постоянной скоростью. [c.44] Если имеется несколько солитонных волн различной высоты, хаотически движущихся в канале, то более интенсивные волны обгоняют менее интенсивные, не взаимодействуя с ними. В итоге получается упорядоченное расположение волн по интенсивности. [c.45] В промежуточном случав мы имеем набор солитонных волн, расстояние между которыми определяется интенсивностью волн чем больше интенсивность, тем больше расстояние между солитонами. [c.46] В заключение этого раздела можно сделать вывод, что для возникновения уединённых волн необходима не только нелинейность, но и дисперсия рассматриваемой системы, т.е. зависимость скорости волны ох её длины. [c.46] Вернуться к основной статье