ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диффузионное ускорение Ферми из "Нелинейные задачи гидродинамики " Солитон, т.е. изолированная бегущая волна, является часто встречающийся образованием в гидродинамике волнового движения. Линейные уравнения гидродинамики могут иметь в качестве решений только монохроматические волны. Одна изолированная волна порождается нелинейными членами при колебательном движении. [c.5] Наиболее простым, с математической точки зрения, примером колебательного движения является математический маятник, т.е. точечный гр 0 на невесомой нити в поле тяжести. Нелинейность колебаний достигается при достаточно больших амплитудах. При этом невесомая нить предполагается несжимаемой (невесомый стержень). По этой причине мы изучим понятие солитона именно на простейшем механическом примере колебаний большой амплитуды математического маятника (без учёта трения). [c.5] Режим солитонного Движения реализуется, как мы увидим ниже, когда точка остановки маятника близка к его каивысшему положению (рис.1). Ниже мы рассмотрим кменно такое движение. [c.5] Наиболее прост случай, когда маятник покоится в наивысшем положении, представляющем собой неустойчивую точку равновесия. [c.5] Мы начнём с решения уравнений движения для этого случая. [c.5] График зависимости ф от называется фазовым портретом движения. Для указанного предельного случая, разделяющего колебание и вращение.математического маятника, фазовый портрет называется сепаратрисой. Её график согласно (3) показан на рис.2. [c.6] Точки внутри сепар 1трис1 соответствуют колебательному движению маятника (с различными амплитудами), а вне её - вращательному движению. Знаки + в уравнении (3) отвечают направлению движения по сепаратрисе (по или против часовой стрелки). [c.6] Значение времени t = о соответствует наинизшему положению маятника ( 5 0). [c.7] Её график (со знаком +) представлен на рис.З. [c.7] Первый из этих интегралов уже вычислялся выше (см. (4) ). Во втором делаем замену переменной интегрирования к- -у=Ч . [c.8] СОоТ 41n(Vц ) 21п(.2ц / , ) = 21п(52/ . ) 1. [c.8] Так как 8. 1 период колебаний логарифмически велик. Как и должно быть, при О он обращается в бесконечность. [c.8] Вычисляя интеграл согласно правилу Г сов(ах) %. [c.10] При п Пд омпоненты Фурье становятся относительно малыми (достаточно быстро ввиду экспоненциальной зависимости (II) ). [c.10] В заключение этого раздела сделаем некоторые обобщения. Потенциальная энергия математического маятника имеет вид, изображенный на рис.б. [c.11] Все выводы, сделанные выше, можно перенести без существенных изменений и на случай произвольного потенциала, имеющего вид, похожий на рис.6, если нас интересует движение с энергией, близкой к высоте потенциальной ямы, т.е. вблизи сепаратрисы. Расстояние между солитонами определяется в основном областью вблизи верхнего положения равновесия, а потому не столь существенно, как ведёт себя потенциальная энергия вдали от этого положения. Поэтому с логарифмической точностью формула (9) для периода колебаний остаётся справедливой и для достаточно произвольного потенциала. При этом велм.чина в случав произвольного потенциала определяется кривизной потенциальной энергии в точке верхнего равновесия (на ш нижнегоЕ) В случае математического маятника обе кривизны- были, разумеется, одинаковы. [c.11] Собственно говоря, в предыдущем разделе иы имели не изолированную волну, а изолированное колебание. Чтобы получить волновое движение, нужна протяжённая среда, в которой могли бы распространяться волны. В простейшем случав речь идёт об одномерной среде и поперечных волнах, распространяющихся вдоль жёсткой оси, на которой на равных расстояниях друг от друга находятся математические маятники. Все маятники считаются одинаковыми. Они связаны друг с другом упругими пружинками (также одинаковыми). Задачу можно ещё более упростить, если предположить, что каждый маятник связан лишь с соседними маятниками (рис.7). [c.12] Здесь частота малых колебаний изолированного математического маятника, т.е.- (л) , - масса маятника, к - коэффициент. упругости пружинга, соединяющей два соседних маятника. Далее, е- ускорение свободного падения и 1 - длина математического маятника. [c.12] Вернуться к основной статье