ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Пусть D W — W — невырожденный линейный оператор, а D W — W —оператор, сопряженный с D. Отображение W х xW —у W xW, задаваемое формулами х = Dx, xj = D ) y, является каноническим. В частности, в новых переменных х[,.. , у[.уравнения Гамильтона (4.3) будут снова иметь канонический вид с тем же гамильтонианом. Подходящим выбором оператора D кинетическую энергию можно привести к сумме квадратов Т = (у +. .. + у1)/2. [c.386] Уравнения (4.2) встречаются также при изучении некоторых однородных космологических моделей в общей теории относительности [20]. [c.386] Следовательно, следы степеней матрицы Ь — интегралы уравнений Гамильтона — являются полиномами по импульсам с коэффициентами вида (4.6). [c.387] Следуя работе [102], изучим интегрируемость уравнений (4.2) в вещественной области. [c.388] Вектор из Д назовем максимальным, если он имеет наиболь-шу о длину среди всех векторов Д, имеющих с ним одинаковое направление. [c.388] Следствие 1. Если система (4.2) интегрируема по Биркгофу, то любые два линейно независимых максимальных вектора а , aj е А удовлетворяют условию (4.7). [c.388] Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где рассмотрен случай, когда Д состоит из тг + 1 векторов Аь. .., а +1, причем любые тг из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Зга ситуация аналогична имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и только том случае, когда они имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов. [c.388] Ниже приводится классификация интегрируемых по Биркгофу гамильтоновых систем, основанная на теореме 1. [c.389] Предложение 1. Каждая гамильтонова система (4.2) есть прямая сумма своих неприводимых подсистем. [c.389] При dim W — 1 множество Д П W может быть любым конечным множеством векторов это вытекает из факта полной интегрируемости гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Оставляя в стороне эти тривиальные случаи, будем далее предполагать dim 1. [c.390] рассмотрим строение интегрируемой неприводимой гамильтоновой системы с п 1 степенями свободы. [c.390] Интегрируемую систему со спектром Д назовем полной, если не существует такого ненулевого вектора а W, что множество Д и а удовлетворяет условиям теоремы 1. Спектр каждой интегрируемой по Биркгофу гамильтоновой системы получается из некоторого полного спектра отбрасыванием части элементов при этом уменьшении множества Д связность графа Кокстера не нарушится, а число вершин не может стать меньше, чем dim W — п. [c.390] Рассмотрим две гамильтоновы системы, у которых векторы из их спектров отличаются положительным множителем к. Нетрудно проверить, что подстановка х — кх, t kt переводит уравнения движения (4.2) одной системы в уравнения движения другой. С помощью следствия 2 из теоремы 1 и предложения 2 легко показать, что схема Дынкина однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет спектр интегрируемой неприводимой гамильтоновой системы. [c.390] Теорема 2. Схема Дынкина полной неприводимой гамильтоновой системы, интегрируемой по Биркгофу, изоморфна одной из схем, изображенных на рис. 38. [c.391] Следствие. Спектр неприводимой гамильтоновой системы СП 2 степенями свободы, интегрируемой по Биркгофу, содержит не более п + 3 различных векторов. [c.391] Лемма 1. Пусть векторы од А попарно линейно независимы, и ждод =0 при некоторых вещественных х ф 0. Если а — вектор из Л, линейно независимый с каждым од, то (а, од) = 0. [c.392] Положим 6 = у а и вычислим (6,6) = y z,, a ,a,,). Векторы Од попарно линейно независимы, следовательно, по теореме 1, (6,6) О, т. е. 6 = 0. Так как О = (о, 6) = y a,a ) у 0) и (а,а ) О (теорема 1), то, очевидно, а,а ) = 0. Аналогично (о, о ) = О, что и требовалось доказать. [c.392] Вернуться к основной статье