ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полиномиальные интегралы систем с полутора степенями свободы из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Эта система состоит из тг + 2 уравнений и содержит столько же неизвестных функций V, оо, oi. а . [c.380] Отметим, что уравнение (3.1) сохраняет свой вид при подстановке а — X + at, V x,t) V x + at,t) + f t), где a = onst, / — произвольная функция времени. Этой тривиальной калибровкой мы будем постоянно пользоваться. [c.380] С помощью леммы 1 легко получить условия существования линейного и квадратичного интегралов. При п = 1 из соотношения а 2 = пУ получаем I/ = 0. Следовательно, линейный интеграл сводится к интегралу момента х. При п = 2 из уравнения (3.4.0) получаем соотношение 14 = О, откуда У = /( ), где /( ) — произвольная гладкая 2тг-периодическая функция. Интеграл (3.3) превращается при этом в обычный интеграл энергии автономной системы с одной степенью свободы. [c.381] Эта система состоит из п — 1 уравнения и содержит п—1 неизвестную функцию Оо. и V. К ней применима теорема Коши — Ковалевской при i = О надо задать значения п—1 функции аО)---,Лп-3) У в виде произвольных аналитических 2тг-периодиче-ских функций переменной х] тогда уравнения (3.6) при малых t будут иметь аналитические решения, 2тг-периодические по х. [c.382] Из результатов работ [211, 212] можно вывести, что нелинейная эволюционная система уравнений в частных производных (3.6) относится К числу интегрируемых. Однако в явном виде ее решения выписать не удается. Пока остается неясным вопрос о продолжимости решений системы (3.6) на всю ось времени t. [c.382] Следствие 1. Предположим, что ф onst. Тогда уравнение (3.1) не имеет нетривиальных полиномиальных интегралов с однозначными 2ir-периодическими по х) коэффициентами. [c.382] Следствие 2. Уравнение Чаплыгина (3.2) не имеет однозначных полиномиальных интегралов. [c.382] В своей работе [169] С. А. Чаплыгин пишет о важности изучения уравнения (3.2), ...интеграции которого, однако же, я не выполнил . [c.383] Следствие 3. Уравнение (3.1) с потенциалом V = = X t)s nmx + fj, t) osmx (т е N) имеет нетривиальный однозначный полиномиальный интеграл в том и только том случае, когда оно имеет полиномиальный интеграл степени 2. [c.383] Пока остается неясным, справедливо ли следствие 3 для полиномиальных потенциалов (3.7) общего вида (ср. с 5 гл. IV). [c.383] Здесь точка над буквой означает дифференцирование по Ь. При выводе уравнений (3.8) предполагалось т 0. [c.383] Вернуться к основной статье