ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Метод Ляпунова фактически использовался в 9 гл. II при анализе квазиоднородных систем. [c.358] Оказывается, множество матриц О = Ту , отвечающих всевозможным замкнутым путям у на. X, образует группу по умножению. Эта группа называется группой монодромии линейной системы (5.3). [c.358] Отметим, что на самом деле матрицы Т еО зависят от выбора точки 0 так что группу монодромии следовало бы обозначать С 1о). Однако при всех значениях X группы С( о) изоморфны. [c.358] Чтобы понять групповую структуру множества О, рассмотрим фундаментальную группу ТТ1 Х) римановой поверхности X. Ее элементы — классы путей на X с началом и концом в некоторой фиксированной точке о, переводящихся друг в друга посредством непрерывной деформации. Такие пути называются гомотопными. [c.358] Следовательно, соответствие 7 — Ту определяет гомоморфизм групп iTi X) G. [c.359] Пусть E t) — решение матричного уравнения S = A t)E с начальным условием H(io) = Е. Продолжим аналитически функцию 5i(i) в окрестность точки to вдоль пути Л, соединяющего точки to и ti. Положим Л = S(ii). Пусть 7 = A i7A — путь с началом в точке ti и Ту—соответствующая матрица из группы G ti). Нетрудно проверить, что Ту = ЛТ Л 1, где Ту G G to) (ср. с 8 гл. IV). Это соотношение устанавливает изоморфизм групп G to) и G ti). В частности, спектр матриц из группы монодромии G t) не меняется при варьировании t X. [c.359] Подробное изложение этих вопросов можно найти, например, в книге [42]. [c.359] Метод Ляпунова позволяет свести задачу об интегрируемости уравнений (5.1) к задаче теории инвариантов найти все однородные многочлены, не меняющиеся при линейных преобразованиях из заданной группы. [c.360] Пусть Г — интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных 1. -1 его коэффициенты — голоморфные функции от I е X. Ясно, что первая нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется однородная форма от 71 — 1 переменных, инвариантная относительно действия приведенной группы монодромии. [c.361] Формы (5.8) и (5.9) должны совпадать, поэтому хотя бы одно произведение равно единице, что и требовалось доказать. [c.361] Следствие. Если уравнения (5.1) допускают интеграл, не имеющий критических точек на Г, то Л = 1 — собственное значение каждой матрицы монодромии. [c.361] Действительно, в этом случае уравнение в вариациях допускает интеграл, линейный по 1. 1. [c.361] Предложение 2. Если имеется поле симметрий системы уравнений (5.1) с голоморфными коэффициентами, независимое с полем V, то собственные значения любой матрицы из приведенной группы монодромии удовлетворяют соотношению вида (5.14). [c.363] Следствие. Если имеется поле симметрий, линейно независимое с полем V в точках кривой Г, то А = 1 — собственное значение каждой матрицы монодромии. [c.363] Действительно, в этом случае т = 0. [c.363] Условия вида (5.14) хорошо известны в задаче о приведении систем дифференциальных уравнений к своей линейной части. [c.363] Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364] Удобно перейти к симплектическому базису отображения д если z = х,у), X = xi. x i), у = (г/1. 2/ i)—координаты в этом базисе, то д (х,у) —у Хх,Х у). Симплектический базис существует, если все А, отличны от единицы (1 . s г — 1) это утверждение доказано, например, в книге [230]. [c.364] Как показал С. Л. Зиглин [64], условия теоремы являются необходимыми и для существования п независимых интегралов, мероморфных в окрестности комплексной кривой Г. Было бы интересно найти необходимые условия существования п независимых векторных полей симметрий с голоморфными компонентами. [c.365] Вернуться к основной статье