ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегралы и группы симметрий квазиоднородных систем дифференциальных уравнений из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Уравнения движения многих важных задач динамики имеют квазиоднородную форму. Примерами могут служить задача многих гравитирующих частиц, задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, а также задача Кирхгофа о движении твердого тела в неограниченной идеальной жидкости. [c.338] Матрица К называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения — показателями Ковалевской. Если общее решение системы (3.1) представляется однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской являются целыми (соответственно целыми неотрицательными) числами (см. п. 5 9 гл. И). [c.339] Например, функции Ь г)/г — квазиоднородные степени 1. [c.339] Теорема 1 [236]. Пусть / —квазиоднородный интеграл степени т системы (3.1) и / сх. Сп) Ф 0. Тогда р = т — показатель Ковалевской. [c.339] Этот результат устанавливает замечательную связь между свойством мероморфности общего решения и наличием непостоянных интегралов. Отметим, что если система (3.1) имеет еще один квазиодцородный интеграл д той же степени т, причем дифференциалы (1/ и (1д линей ю независимы в точке г = с, то р = т — множитель Ковалевской кратности 2. [c.339] Предположим, что правые части удовлетворяют соотношениям Uj (a zi. а г ) = аЭ + иу(г1. г ), другими словами, Uj[z)/zj — квазиоднородные функции степени m с теми же показателями квазиоднородности 5i.5 , Ясно, что система (3,9) инвариантна при подстановках г,- — г — а г. [c.340] Теорема 2. Предположим, что система (3.1) допускает квазиодиородное поле симметрий и степени т., причем и(с) -ф 0. Тогда р = -т — показатель Ковалевской. [c.341] Следствие 1. Если с О, то р = —1 — показатель Ковалевской. [c.341] Следствие 2. Пусть и — квазиодиородное поле симметрий степени 1, и векторы V, и линейно независимы в точке г = с. Тогда р = --1 —показатель Ковалевской кратности 2. [c.342] Теорема 2 устанавливает любопытную связь между условием однозначности общего решения квазиоднородной системы и наличием нетривиальных полей симметрий. [c.342] Следствие 3. Предположим, что среди показателей Ковалевской нет отрицательных целых чисел, кроме числа р = которое является однократным корнем характеристического уравнения det К — рЕ = 0. Тогда система (3.1) не допускает такого поля симметрий и с аналитическими компонентами, что векторы и с) и г (с) линейно независимы. [c.342] Замечание. При т ф к условие независимости функций Я и Ф можно, очевидно, заменить более слабым Ф ф О при. х = и, у = ь. [c.343] В случае 2) векторы /х = ( ь. .., р , ф . .., фпУ и (1 =. . [c.344] Предположим, что степени квазиоднородности гамильтониана и дополнительного интеграла являются целыми числами. Тогда среди показателей Ковалевской появляется дополнительная пара целых чисел. Одно из них — степень нового интеграла, а другое — взятая с обратным знаком степень гамильтонова поля симметрий, порождаемого этим интегралом. [c.344] Легко вычислить показатели Ковалевской независимо от выбора знаков в (3.24) характеристическое уравнение с]е1 А — рЕ = О имеет тривиальный корень р = — 1 и двукратный корень р = 2. [c.345] Аналогичные соображения можно использовать для поиска интегралов и групп симметрий более сложных квазиоднородных систем. Однако такой подход не всегда приводит к цели, поскольку теоремы 1 и 2 дают лишь необходимые условия существования и, более того, содержат информацию лишь об интегралах и полях симметрий с дополнительными свойствами в точках х — с. [c.345] Вернуться к основной статье