ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ветвление решений и полиномиальные интегралы в обратимой системе на торе из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Согласно известной теореме Коши, уравнение (1.1) имеет единственное решение г 1), принимающее при заданном о С заданное значение 2о С , т, е, г( о) = о это решение голоморфно в некоторой малой окрестности точки о- Будем искать г Ь) в виде ряда по степеням Ь — Ьо, коэффициенты которого однозначно определяются начальным значением 2о, а сам ряд сходится при малых значениях I - 1о. [c.328] Зная голоморфную функцию, определенную в последнем (содержащем точку tl) круге, можно найти значение z(t) при = ь Однако это значение существенно зависит от выбора пути I, соединяющего точки to и tl. [c.329] Имея локально голоморс )ное решение I — г 1), определенное при малых значениях I — 1о, можно построить аналитическую функцию, аналитически продолжая г -) вдоль всех путей с началом в точке 0, вдоль которых такое продолжение возможно. Ясно, что эта функция будет удовлетворять уравнению (1.1). [c.329] Аналитическая функция может оказаться многозначной аналитическое продолжение вдоль разных путей сопоставляет точкам комплексной плоскости С = несколько (даже счетное множество) значений. С многозначными функциями оперировать неудобно, и поэтому вместо плоскости С = обычно рассматривают многолистные поверхности, которые можно представлять себе расположенными над комплексной плоскостью и имеющими столько листов , сколько значений имеет аналитическая функция в этой точке. На таких поверхностях (называемых римановыми) аналитические функции являются обычными однозначными голоморфными функциями. Детальное изложение этих вопросов можно найти, например, в книге [167]. [c.329] Оказывается, решения этой системы можно разлагать не только по степеням - о, но и по степеням . [c.329] Если при фиксированных значениях у функция Hi[y, х) голоморфна в С , то, конечно, = 0. Однако в практически важных случаях эта функция имеет особенности (скажем, полюсы). Поэтому функцию Н х,у, ) будем считать голоморфной лишь в области De s X l X Е, где Q—связная область в Т , содержашая действительный тор TjJ и замкнутый контур Г — образ контура 7 при отображении ж = + oj[y°)t, i 7. [c.331] Укажем основные моменты доказательства теоремы 1. Покажем сначала, что функции Г у,х) не зависят от х. Пусть у,х) X Т и fo = Ф + гФо- Тогда и - пе1)вые интегралы невырожденной невозмущеиной системы. Согласно лемме Пуанкаре (см. 1, гл. IV), они не зависят от х Тд. При х постоянство функций Го вытекает из связности области и единственности аналитического продолжения. [c.332] Здесь (jJi, 0J2 — частоты, с — произвольная постоянная. Пусть при у = у° частота си2 отлична от нуля и хотя бы одна из функций / или д имеет простой полюс. Тогда при надлежащем выборе постоянной с функция Ф также имеет простой полюс и, Следовательно, функция yi t,s) ветвится при малых значениях 0. Если, кроме того, невозмущенная задача невырождена, то (по теореме 1) уравнения Гамильтона (1,5) не допускают дополнительного однозначного интеграла. [c.333] Собственные значения Л линеаризованной системы имеют ненулевые вещественные части (Re Л 0). Решение z t) = го можно считать периодическим с периодом 2тг. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых система (1.9) имеет 2тг-периодическое решение г = p(i,e), p t,0) = zq. Аналитически по t С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы (1.9), асимптотические к траектории p t,e) при t —+ —00, на максимально возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность AjT, которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью гиперболического периодического решения p t,e). [c.333] Теорема 2 [63]. Если функция h имеет простой нуль, то при достаточно малых ф О комплексная поверхность А имеет трансверсальное самопересечение, и система (1.9) не имеет в однозначного аналитического первого интеграла. [c.334] Пусть 7 — замкнутый путь, обходящий полюс ао в положительном направлении. С помощью вычетов легко установить, что hi to) = —47ri os(7ri /2 + tfi). Эта функция имеет простые нули, поэтому применима теорема 2. [c.334] Укажем еще статью [36], в которой тем же методом установлено отсутствие голоморфных однозначных интегралов в задаче о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. [c.334] Теорема 1. Предположим, что при некоторых а, 6 С функция г —у / г) имеет полюс с ненулевым вычетом. Тогда общее решение системы (2.1) не является однозначной функцией комплексного времени. [c.336] Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336] Считая малым параметром, рассмотрим прямую х = ат + Ь как решение невозмущенной системы. Для завершения доказательства предложения остается воспользоваться теоремой Пуанкаре о разложении решений уравнений (2.4) в сходящиеся ряды по степеням и теоремой Коши о вычетах. Теорема 1—очевидное следствие этого утверждения. [c.337] Лемма 1-. Старшая однородная форма однозначного интеграла уравнений (2,1) не зависит от переменных х. [c.337] Действительно, старшая однородная форма- полиномиального интеграла является интегралом задачи о движении по инерции по тг-мерному тору Т = ж mod 2тг . Будем считать х вещественными угловыми координатами. Тогда действительная и мнимая части однородной формы также являются интегралами уравнений Xg = 0. Так как Xg = onst и почти все траектории этой системы всюду плотны на Т , то любой вещественный периодический интеграл зависит от скоростей Xg, что и требовалось доказать. [c.337] Следовательно, Ф и ) + а 1ф(и, а ) +. .. = Ф и) + а 1ф(и, ж) +. .. Дифференцируя это равенство по а, умножая на и полагая затем а — оо, приходим к соотношению (2.5). [c.337] Вернуться к основной статье