ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неинтегрируемость систем, зависящих от параметПоля симметрий в окрестности положений равновеВетвление решений и отсутствие однозначных интегралов из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Теорема 1 [88]. В пространстве V с топологией Т всюду плотны точки, для которых уравнения (2.1) не имеют интеграла F(x,x), аналитического в окрестности точки х = х = О и независимого от интеграла энергии х /2 + V (a ). [c.319] По-видимому, точки KgV, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме сходится, образуют в V подмножество первой категории. [c.319] Пусть функция Ф 1, р,е) аналитична по I, (р, е и 2ж-периодична по (р. Если //2,Ф = О, го Ф не зависит от р. [c.321] е) О только при к = О, что и требовалось доказать. [c.321] Так как ко ф О, то квадратичные фо1)МЫ р2 . ., зависимы при = о- Теорема 1 доказана. [c.321] Хотя доказательство теоремы несложно, ее применение в конкретных задачах наталкивается на довольно громоздкие вычисления, связанные с юрмализацией гамильтонианов. [c.321] На всех интегральных многообразиях (/о ,7) = с, (7,7) — 1 приведенная гамильтонова система имеет два положения равновесия они соответствуют равномерным вращениям тела вокруг верн тикальной оси, при которых центр тяжести постоянно находится под (над) точкой подвеса. [c.322] Угловая скорослъ о такого вращения связана с постоянной площадей с простым соотношением с = /30 . Рассмотрим случай, когда центр масс находится под точкой подвеса. [c.322] Алгебраические кривые (3.1) и (3.2) пересекаются в двух точках (4/3,1) и (7,2), которым отвечают интегрируемые случаи Лагранжа (Д = /3) и Рис. 34 Ковалевской Г = 2/з) (рис. 34). [c.322] рассмотрим симмет1)ичный случай А= В. Положим а = = А/С. Зафиксируем положительную постоянную интеграла (е, е) и будем менять значение интеграла площадей 1и,е) = с. Если уравнения (3.3) имеют дополнительный аналитический интеграл, независимый от классических, то гамильтоновы уравнения редуцированной системы допускают интеграл, независимый от интег1 ала энергии и аналитический но параметру с. [c.323] Результат Д. А. Онищенко дополняет теорему 2 4 гл. V, но устанавливает неинтегрируемость уравнений движения в более слабом смысле. [c.324] Векторное поле и назовем специальным, если хотя бы одна из форм X (или У ) имеет члены вида а,г,.(х12/1) ... (жп.уп) (соответственно Ь /г( Т1(/1) . .. хпУпУ ) с ненулевыми коэффициентами. В дальнейшем нас будут интересовать лишь неспециальные поля симметрий. [c.325] В предположении о независимости собственных чисел. .., гамильтонова система имеет п неспециальных линейно независимых гамильтоновых полей. Действительно, согласно лемме 1 1, уравнения Гамильтона допускают п независимых формальных интегралов = х у +. .., не содержащих специальных слагаемых вида сх у . Очевидно, что гамильтоновы поля являются неспециальными полями симметрий. [c.325] Тем же способом решается второе уравнение системы (4.4). Предложение 1 доказано. [c.326] Он является оператором ди( )ференцирования вдоль гамильтонова векторного поля лишь при условии г + /3, = О (1 г п). [c.326] Предположим, что Н = H-i - Тогда при всех значениях ауфг операторы (4.2) и (4.7) будут коммутировать. Следовательно, гамильтонова система в окрестности равновесия может иметь негамильтоновы поля симметрий. Отметим, что линейные поля (4.7), очевидно, неспециальные. Оказывается, в типичной ситуации неспециальные поля симметрий являются гамильтоновыми. [c.326] Предложение 2. Если det а ] О, то в (4.7) г = —/Зг для всех г = 1. п. [c.326] Вернуться к основной статье