ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые приложения из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267] Здесь e — эксцентриситет орбиты смысл остальных параметров разъяснен в п. 3 4 гл. I. При е = О будем снова иметь интегрируемую задачу о колебаниях обычного маятника. Пусть 1хф Q. Тогда, как показано в [36], одна из пар сепаратрис невозмущенной задачи расщепляется, и поэтому при достаточно малых значениях е О уравнение (3.3) не имеет аналитического интеграла, 2тг-периоди-ческого по и г . [c.268] Эти решения имеют прозрачный механический смысл они совпадают с неустойчивыми стационарными вращениями твердого тела вокруг средней оси инерции в противоположных направлениях. Из неравенства (т, 7) (т,т)(7,7) и независимости классических интегралов на вытекает, что 0. [c.269] Более того, как установил С. А. Довбыш [49], в несимметричном случае при малых е ф О обязательно существуют двоякоасимптотические траектории (не обязательно гетероклинные, как в невозмущенной задаче), причем соответствующие пересекающиеся асимптотические поверхности не совпадают. С учетом этого обстоятельства из теоремы 1 2 вытекает неинтегрируемость возмущенной задачи в существенно более сильном смысле уравнения движения не допускают нетривиального аналитического поля симметрий. Этот результат получен в работе [101]. [c.270] Поведение решений возмущенной задачи исследовалось численно в работе [196]. Па рис. 21 показаны результаты вычислений при разных значениях возмущающего параметра . Хорошо видно, что картина инвариантных кривых невозмущенной задачи начинает разрушаться именно в окрестности сепаратрис. [c.270] Для этого зафиксируем значения I] = I2, и заменим /з, rj соответственно на fil , цг (О /i 1). В силу динамической симметрии координату Г2 центра масс тела можно считать равной нулю. Устремляя /i к нулю, получим в пределе ограниченную задачу о вращении твердого тела (см. п. 5 4 гл. I). Зафиксируем значение интеграла площадей с = (/0 ,7) и сведем уравнения движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. [c.271] Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272] Довбыш установил, что при /1=1и/г = 5/2 решение (3.9) гиперболическое, и его устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекаются (рис. 23). По-видимому, сепаратрисы трансверсально пересекаются для всех значений /1, при которых решение (3.9) гиперболическое. [c.273] Результат о расщеплении сепаратрис был ранее получен Ж. Марсденом и П. Холмсом [205] при дополнительных упрощающих предположениях в точном выражении функции Г амильтона отброшены некоторые слагаемые. [c.274] Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275] Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275] Точка х, у) = (тг, 0) также будет неподвижной, однако она будет иметь эллиптический тип при всех значениях е 0. Эти наблюдения допускают простую интерпретацию с точки зрения теории возмущений при малых значениях параметра е О инвариантная окружность невозмущенной задачи у = О разрушается из семейства неподвижных точек, составляющих эту окружность, рождается пара невырожденнных неподвижных точек координаты этих точек аналитически зависят от е, и одна из них устойчива (в первом приближении), а другая неустойчива мультипликаторы неподвижных точек можно представить в виде сходящихся рядов по степеням /е (ср. с п. 7 8 гл. IV). [c.275] Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие стохастического слоя вблизи А+ и А . Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф. Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у. Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы такого вида обсуждались в гл. IV). [c.276] Здесь Но—функция тока стационарного течения (напомним, что она удовлетворяет уравнению Лапласа), а Н имеет вид x osXt, X = onst. Уравнения (3.16) описывают безвихревое течение в том случае, когда на стационарное поле скоростей налагается малое синусоидальное возмущение постоянного направления. [c.276] что С1(А) — гс2(А) = f a(t)e dt — преобразование Фурье функции Xa t) Так как Ха аналитична и экспоненциально быстро убывает с ростом / , то С1 — гс2 также аналитически зависит от А (теорема Пэли— Винера). [c.277] Если 1 (л) имеет простые нули, то при малых значениях е ф О асимптотические поверхности трансверсально пересекаются (см. 1). В рассматриваемом случае среднее значение (2тг/А)-пе-риодической функции I равно нулю, поэтому у нее всегда имеются нули. Эти нули, очевидно, простые, если 0. [c.277] Вернуться к основной статье