ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Расщепление асимптотических поверхносАсимптотические поверхности и условия их расщеплеТеоремы о неинтегрируемости из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Более точно, проекции интегральных кривых системы (11.1 ) на фазовое пространство системы (11.1), параметризованные переменной t, являются решениями уравнений (11.1). При этом, конечно, мы полагаем постоянную ip = ip - ujt равной нулю. [c.244] Так как д Н/дф = о О, то к автономной гамильтоновой системе (11.1 ) можно применить процедуру понижения порядка по Уиттекеру (п. 4 1), понизив на единицу число степеней свободы. При этом, разумеется, получим исходную систему (11.1). [c.244] При к = О имеем периодическое решение. Его мультипликаторами естественно назвать мультипликаторы соответствующей замкнутой 1 раектории автономной системы (11.1 ). [c.244] Аналогичные результаты справедливы и для инвариантных торов при к 1. [c.245] Как и в п. 1, предполагается, что функция Н 2тг-периодична по ip. [c.245] В теории возмущений гамильтоновых систем существенную роль играет предположение о невырожденности невозмущенной задачи. К сожалению, гессиан функции Но по импульсам ф, у тождественно равен нулю. [c.245] Вычислим вторые производные нового невозмущенного гамильтониана по импульсам ф,у. [c.245] Пусть К = ko,ki,.. .,к У, Hi x,y°,ip) = Я exp[i(rov +Tia i + +. .. + т Жп)], т G Введем 2тг-периодическую функцию одной переменной /i(A) = Я exp(i/iA), ц Ъ. Эта функция — результат усреднения возмущающей функции Н Ш вдоль траекторий невозмущенной задачи (см. п. 1 10). [c.246] Для доказательства этой теоремы перейдем к автономной гамильтоновой системе с г + 1 степенью свободы, задаваемой гамильтонианом (11.3), а затем заменим гамильтониан Н на expTi. [c.246] Постоянная -ф несущественна ее можно положить равной нулю. В исходной неавтономной системе ip = (ot, поэтому = 0. Проектируя возмущенный п-мерный гиггерболический тор на пространство переменньгх ж, у, ip, получим п-мерный инвариантный тор, заполненный условно-периодическими траекториями с п несоизмеримыми частотами. При этом зависимость координат х, у от времени задается соотношениями вида (11.5), что и требовалось доказать. [c.247] В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее всегда найдутся критические точки, в которьгх h имеет знак, противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения возмущенной задачи, период которьгх кратен 27г/о . Этот случай, по существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении невырожденных периодических решений (см. теорему 5 8). Отметим две особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е, а не по у/г, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в которьгх к Х )6 О, при е О отвечают возмущенные периодические реигения эллиптического типа они устойчивы в линейном приближении. Условия их устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123]. [c.247] Теорема 2 [71]. Гамильтонова система, с гамильтонианом (И.б) допускает п коммутирующих интегралов вида (11.7), независимых при е = О, в том и только том случае, когда точки множества Д лежат на п прямых, ортогонально (в метрике (, )) пересекающихся в начале координат. [c.248] Достаточность теоремы 2 очевидна в этом случае переменные в функции Г амильтона разделяются и уравнения движения имеют n интегралов, квадратичных по импульсам. Например, в условиях теоремы 2 при n = 1 функция Hi имеет вид f kx+lip), где /( ) — некоторый тригонометрический многочлен от одной переменной, а целые числа к и I взаимно просты. При к ф О интегралом служит функция 1у/к + Но у) + ef kx + lip). Случай к = Q тривиален функция i/o — интеграл уравнений движения. [c.248] Необходимость условий теоремы 2 установлена в [71] методом работы [97] (см. 5). [c.248] О So гамильтонова систем с гамильтонианом (11.6) в переменных X mod 2тг, у, ip mod 2тг обладает гиперболическими п-мерными торами, непрерывно зависящими от е. При этом для каждого j О найдется такое o(j) О, что мера Wj eo j)) положительна, а мера множества тг (J Wj (е) равна нулю. [c.249] Этот результат распространяет на неавтономные системы теорему 2 из 10. Доказательство использует анализ классической схемы теории возмущений гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (11.6), проведенный в [71], а также обобщенный вариант теоремы 1 из п. 3, касающийся аналитических гамильтонианов вида еЧ1г у) + Нк х, у. (р) + о е ). [c.249] При п = 1 теорема 3 установлена в работе [71]. Точнее, при всех у ф О из плоскости TTj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются при добавлении возмущения, причем для малых Ф О возмущенная задача имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них имеет гиперболический тип, а половина—эллиптический. [c.249] Вернуться к основной статье