ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рождение гиперболических инвариантных торов из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Доказательство этого утверждения повторяет рассуждения п. 2 8. [c.234] Лемма 2 просто доказывается методом п. 2 8. [c.234] Пусть к = 1. Тогда матрица монодромии Р = ехр(27гГ2/о ) имеет собственное значение р = 1 кратности г. Следовательно, теорема 1 содержит как частный случай теорему Пуанкаре из п. 2 8. [c.234] Следовательно, /гд — собственный вектор матрицы с собственным значением -i X,uj). [c.234] Предположим, что имеется не более г - 1 различных ненулевых собственных векторов h, удовлетворяющих (9.8). Частоты рационально несоизмеримы, поэтому числа (А,о ) и (Л, о ) (А, Л G Z ) совпадают лишь при Л = Л. Следовательно, в разложениях (9.7) не более г — 1 коэффициентов h отличны от нуля. Но тогда ковекторные поля h x), отвечающие г интегралам системы (9.2), линейно зависимы. Значит, эти интегралы зависимы во всех точках инвариантного тора. Получено противоречие. Для завершения доказательства осталось заметить, что собственные значения матриц и совпадают. [c.235] Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству теоремы 1. При к = 1 получаем теорему 2 из 8. [c.235] Тогда матрица имеет (с учетом кратностей) не менее г + I — к собственных значений вида i X,uj), X G Z . [c.235] При к = 1 это утверждение совпадает с теоремой 3 из 8. Доказательство основано на тех же идеях. [c.235] Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и ), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// . vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235] Здесь — нереаонансный набор чисел u i. и т, Г и — постоянные матрицы, функция G 2тг-периодична по X, и ее разложение в ряд Маклорена гго переменным Y. Z начинается с членов третьего порядка. [c.236] Предположим, что матрица Q не имеет чисто мнимых собственных чисел. 1 огда, согласно результатам п. 3, любые ш+1 интегралов рассматриваемой системы уравнений Г амильтона зависимы в точках т-мерного тора Y = Z = 0. [c.236] Лемм а 3. Пусть матрице Q при всех значениях X удовлетворяет условию (9.J2). Тогда любые т + 1 интегралов уравнений Гамильтона с гамильтонианом (9.10) зависимы во всех точках т-мерного иерезоиаисного иивариаитного тора Y = О, Z = 0. [c.236] с точное ью до несущественного постоянного слагаемого F = (у0, Y) + 02 y Z), Уо onst. Ясно, что интегралы независимы в точках тора Т в том и только том случае, когда линейно независимы соответствуюнще постоянные векторы уо- Поскольку Уо М , число независимых интегралов не превосходит т. Лемма доказана. [c.237] Отметим, что в приводимом случае заключение леммы 3 вытекает из теоремы 3 настоящего параграфа. Торы, о которых шла речь в лемме 3, можно назва1ь гинерболимескимщ они являются прямым обобщением гиперболических периодических решений из 8. [c.237] Поскольку выполнено (9.14), то в предположении гладкости функции Q уравнение (9.17) имеет гладкое решение v Т — R. [c.238] если выполнено условие (9.14), то уравнение (9.15) переходит в (9.16), причем постоянная с определяется формулой (9.18), и м = ехрг, где v — решение гомологического уравнения (9.17). [c.238] Предположим, что при у = у частоты невозмущенной задачи Wi = дНо/ду1,. .., u = дНо/ду рационально соизмеримы. Более точно, имеется такая нетривиальная подгруппа Л группы Z , что ш, т) = О для всех т е Л. Пусть rank = I ит = п-1. Согласно теории абелевых групп, найдутся такие п векторов Tj,. .., т , ri. 77 из Z , что матрица Ко, столбцами которой являются компоненты этих векторов, унимодулярна (ее определитель равен единице), и векторы Ti. Ti порождают группу Л. [c.238] Усредним функцию по не возмущенным траекториям. Для этого перейдем к новым угловым переменным г по формуле г = х и положим X = шЬ+х . Тогда г = где х . [c.239] Вернуться к основной статье