ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерий интегрируемости для случая, когда потенциал является тригонометрическим многочленом из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Как и в общем случае, оно инвариантно относительно отображения m — —т. Будем считать, что Н ф onst тогда Д содержит по меньшей мере два элемента. [c.200] Теорема 1 [97]. Предположим, что квадратичная форма Но положительно определена. Тогда гамильтонова система с функцией Гамильтона Но -Ь Hi имеет полный набор формально аналитических по первых интегралов, независимых при е = О, в том и только том случае, когда точки множества А расположены на d п прямых, ортогонально (в метрике (, )) пересекающихся в начале координат. [c.200] Возвращаясь к старым переменным х, у, получим набор интегралов, линейных по (или вообще не зависящих от е), коэффициенты которых—аналитические функции в R х Т = у,х mod 2тг . [c.200] Следствие. Если уравнения Гамильтона с гамильтонианом Но + Hi имеют п независимых полиномиальных интегралов, то они имеют п независимых коммутирующих полиномиальных интегралов не выше второй степени. [c.201] Замечание. По-видимому, это утверждение справедливо и в более общем случае, когда потенциальная энергия Hi — произвольная аналитическая функция на Т = х mod 2тг (а не только тригонометрический полином). М. Л. Бялый [39] доказал эту гипотезу в частном случае, когда гг = 2 и гамильтонова система имеет дополнительный полиномиальный интеграл не выше четвертой степени. Отметим, что задача о дополнительном полиномиальном интеграле заданной степени много проще задачи о наличии интеграла в виде полинома, степень которого заранее не фиксирована. [c.201] Следствие 2. Если уравнения Гамильтона с гамильтонианом Но -Ь Hi имеют п независимых полиномиальных интегралов, то выпуклая оболочка множества А является к-мерным ромбоидом к п), причем на этом ромбоиде нет точек из А, отличных от вершин. [c.201] В работе Адлера и ван Мёрбеке [177] рассмотрен частный случай этой задачи метрика (, )—стандартная метрика в К , / = = соз( ). Это — классический вариант системы Гросс — Невё, хорошо известной в теоретической физике. Функция Гамильтона имеет вид Я = - у1 + os xi - х ). [c.202] К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности п одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью метода Ковалевской в [177] доказано, что при п = 3 и 71 = 4 для почти всех начальных условий переменные у и ехр(гж,) не будут мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс — Невё алгебраически неинтегрируема. Подчеркнем, что алгебраически неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми (см. 9 гл. П). [c.202] Определение. Пусть а — наибольший элемент А, а /3 — наибольший линейно независимый с а элемент множества Д а . Вектор а назовем вершиной А, а вектор (3 —вершиной А, примыкающей к а. [c.202] Оставляя в стороне тривиальный случай интегрируемости, корда все точки из Д лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, будем предполагать в дальнейшем, что примыкающая вершина (3 всегда существует. [c.202] Доказательство теоремы 1 основано на применении следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес. [c.202] Оставшаяся часть 5 посвящена доказательству теорем 1-3. [c.203] Эта формула — следствие соотношений (4.4). Ясно, что 8 можно представить в виде дробей, в знаменателях которых стоят выражения вида ш, т) и их произведения. [c.204] Из определения лексикографического порядка следует, что а У VI а У для всех 7 е Д а . [c.204] Лемма 1. Функции 8 тождественно нулевые при т у га. [c.204] Доказательство проводится индукцией по г. Для г = 1 справедливость леммы вытекает из формулы (5.4) и определения вершины а. Предположим, что лемма справедлива для всех г т. Функция вычисляется по формуле (5.5). Пусть т у (г + 1)а. Покажем, что в любом слагаемом правой части (5.5) должен присутствовать сомножитель 8 , где т - соа, ш г, равный нулю по предположению индукции. Действительно, если т иа и 5 ра, то а + 6 (и + у)а = (г + 1)а - т. Но это противоречит условию суммирования сг + 5 = т. Лемма доказана. [c.204] Доказательство. Выведем (5.6) из (5.5), положив т = та. Будем рассматривать в (5.5) лишь ненулевые слагаемые. Согласно лемме 1, справедливы соотношения а иа, 6 ьа и а + 6 = та = и + ь)а. Отсюда а = иа ii 6 = ьа, что и требовалось доказать. [c.204] В первом случае, очевидно, вектор т параллелен а, а во втором т = сг- - 5= (и- -г — 1)а + /3 = га + что и требовалось доказать. [c.205] Доказательство проводится индукцией по т с применением формулы (5.7). [c.206] Лемма 7. Имеет место соотношение 1 — /1 — 2г = г г . [c.206] Вернуться к основной статье