ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обратимые системы с торическим пространством положений из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " К автономной гамильтоновой системе (2.1) можно применить процедуру понижения порядка по Уиттекеру. Зафиксируем постоянную энергии /г О и разрешим уравнение H x,y,fi) = h относительно У2- Получим -У2 = K yx,Xx,X2,h,fl) = Ко + iil x + , Ко = -l/(2yf). [c.187] Для этих уравнений множество Пуанкаре Р, также будет всюду плотно на полупрямой у 0. Невозмущенная система невырождена d Ko/dy ф 0), поэтому выполнены все условия теоремы 5 из 1. Таким образом, можно заключить, что уравнения (2.2) нри всех значениях полной энергии /г О не имеют первого интеграла с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в области Д X = у,. т,т , где Д — произвольный интервал полупрямой у 0. [c.187] Теорема [76]. Если тяжелое твердое тело динамически несимметрично, то уравнения вращения не имеют независимого от функции Но -Ь еНх формального интеграла Гг е с аналитическими на уровне Мс коэффициентами. [c.189] Это утверждение дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный Пуанкаре в [146, п. 86]. [c.189] Возвращаясь к исходной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, получаем, что уравнения вращения тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не имеют дополнительного интеграла, коммутирующего с интегралом площадей, в виде формального ряда по степеням е с однозначными и аналитическими во всем фазовом пространстве коэффициентами. Учитывая известную связь между формальными по е интегралами и полиномиальными интегралами обратимых систем (см. 1, гл. П), приходим к следующему результату в несимметричном случае нет дополнительных интегралов в виде многочленов по импульсам с аналитическими на группе 50(3) коэффициентами, коммутирующих с интегралом площадей. [c.189] При е = О имеем вполне интегрируемую задачу Лагранжа. Поставим задачу о наличии дополнительного интеграла в виде формального ряда гю степеням е, коммутирующего с интегралом площадей. Ее решение проводится по схеме, изложенной в работе [76]. [c.189] Оказывается [149]. при условиях (2.4) такого интеграла нет. Заметим, что при /] = 13 возмущенная задача вполне интегрируема (это снова задача Лагранжа), а при гз = О имеются интегрируемые задачи Ковалевской (Д = 2/з) и Горячева—Чаплыгина (/1 = 4/з, постоянная интеграла площадей равна нулю). Задача о наличии дополнительного интеграла при гз = О значительно сложнее здесь вековое множество В уже не обладает ключевым свойством. [c.190] Коэффициенты YJ и Х (г, s 0) считаются 2тг-периодическими по координатам ii. ж . [c.190] Например, при т = 1 эти условия заведомо выполнены, когда кривая у — у) регулярна и трансверсально пересекает резонансные поверхности = О (а G Z). При т = п условия невырожденности сводятся к единственному почти всюду det [diOk dyj ф 0. Заметим, что в 1 в определении невырожденной системы фигурировало только условие 2). [c.191] Все функции, встречающиеся ниже, считаем аналитическими. [c.191] Доказательство. Решим уравнения (3.2) методом Фурье. Положим У = (а(ь )ехр[г(а,ж)]. [c.191] Здесь X , Фа, да — векторы с компонентами Х1, Ф ,, Ф — коэффициенты Фурье функции Ф (см. 1). При выводе (3.5) была использована лемма 1. [c.192] Действительно, согласно (3.5), в точках множества Пуанкаре Р1 векторы Х и 10 линейно зависимы. Так как Р1 — ключевое множество, то X и о зависимы во всех точках области О /гХо = Ао , Ф 0. Поскольку и) ф то 1 ф 0. Следовательно, Х = и 0 — аналитическая функция, что и требовалось доказать. [c.192] Действительно, Ро С Pi, поэтому (3.7) справедливо во всех точках у е Ро- При у е Ро найдется m линейно независимых векторов Фа, Фа, Фд, , ортогональных З о/ У, поэтому d o = о на множестве Ро- В силу ключевого свойства Ро получаем, что d o = О, и, следовательно, о = onst. [c.192] Теорема 2. Предположим, что невозмущенная система невырождена. Пусть dHo Ф О, ш Ф О в некоторой точке у 6 R , и в любой ее окрестности U множество Пуанкаре Pi является ключевым для класса функций U). Тогда при х, у) 6 Т х ) векторное поле (3.1) отличается от поля (l.l) множителем + + + - I где —аналитические функции от Н. [c.193] Доказательство. Согласно леммам 1 и 2, зд = оЦ), где 0 — аналитическая функция от у. Так как [г4о,г о = О, то — интеграл невозмущенной системы (1.1) (см. 3 гл. П). По лемме 1 из 1 функции 0 и Яо зависимы в точках множества Pi П ) в силу ключевого свойства этого множества они зависимы всюду. В малой области нет критических точек функции Яо, поэтому по теореме о неявной функции в этой области = Фо(Яо), где Фо — некоторая аналитическая функция (см. п. 1 1). Следовательно, векторное поле = (щ — Фо(Я)г) .)/ снова будет аналитическим полем симметрий. Аналогично шо = Ф1(По)ьо и т. д. В результате имеем Us = Ф(Я, )г ., где Ф = Фо + Ф1 +. .. Теорема доказана. [c.193] Сделаем ряд замечаний. [c.193] Предположим также, что в любой малой окрестности 11 точки у множество Пуанкаре Р1 является ключевым для класса функций С и). Тогда в области х Т С К х Т справедливо равенство щ = Ф(Я, е)ье , где Ф —некоторая аналитическая функция. [c.194] Вернуться к основной статье