ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симметрии, интегралы и топология динамических систем с двумя степенями свободы из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Определение. Если Qi, Q2 —многочлены от импульсов степени п—1, а Pi, Р2 —многочлены степени п, то поле и назовем однородным полем степени п. [c.157] Степень однородного поля и будем обозначать deg и. В частности, deg V — 2. Поле симметрий и можно разложить в формальный ряд по однородным полям и = щ + щ + и2 +... (deg Uk = к, к 1). Согласно лемме 1 из 7, каждое из однородных полей щ само является полем симметрий. Кроме того, зд = О (лемма 2 из 7). Поэтому можно ограничиться рассмотрением лишь однородных полей симметрий положительной степени. [c.157] Мы назвали поле симметрий и локально гамильтоновым, если 1-форма Lo u, ) замкнута, но не точна (см. 3 гл. П). В этом случае уравнения геодезических допускают в качестве инварианта замкнутую 1-форму, которая называется многозначным интегралом. [c.157] Теорема 1 [107а)]. Если М = Т , то любое поле симметрий первой степени гамильтоново. [c.158] Теорема 2 [107а)]. Если гауссова кривизна метрики на торе не равна тождественно нулю, то любое поле симметрий второй степени гамильтоново. [c.158] Задача о структуре симметрий геодезического потока на сфере более сложная и пока не изучалась. В следующем параграфе рассмотрен упрощенный ее вариант если геодезический поток на двумерной поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное полю v, то существует ли дополнительный по импульсам интеграл степени гг Практически во всех случаях ответ положительный. [c.158] Слагаемые в (8.2), содержащие Л, — гироскопические силы. [c.158] В связи со сказанным, естественно поставить более общую задачу об условиях существования векторных полей симметрий с полиномиальными компонентами для уравнений (8.2). В отличие от обратимого случая (Л = 0), здесь поле симметрий уже не будет однородным. Его можно представить в виде конечной суммь однородных полей и = и,п + Um i -Ь. .., deg щ = к, расположенных в порядке убывания степени. Степенью поля и назовем величину deg Um = т. [c.159] что и — поле симметрий обратимой системы. Это простое замечание позволяет использовать теоремы 1 и 2. [c.159] Теорема 3 [107а]. Ненулевое иоле симметрий первой степени всегда локально гамильтоново. Оно будет гамильтоновым лишь при условии (8.3). [c.159] Теорема 4 [107а]. Предположим, что уравнения Гал шгь-тона (8.2) допускают поле симметрий и степени п 2, причем старшие однородные части полей v и и линейно независимы при Pl = 1) Р2 = = 1)- Тогда имеет место (8.3). [c.159] Ниже даны доказательства теорем 1-4, основанные на методе Биркгофа. [c.159] Лемма 1. Имеет место соотношение 7j = 72 = 0. [c.159] Индекс суммирования к принимает значения 1 и 2. [c.160] Следовательно, 71 + 72 = 0. Что и требовалось доказать. [c.160] Лемма 2. Имеет место соотношение Q + г(55 = С1 + гс2, где С1, С2 —вещественные постоянные. [c.160] Действительно, равенство (8.9), с учетом заключения леммы 1, является критерием голоморфности функции Q + гQ2 Остается воспользоваться теоремой Лиувилля. [c.160] Лемма 3. Имеет место соотношение — Р2 =0. [c.160] Вернуться к основной статье