ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Топология пространства положений обратимой системы с нетривиальной группой симметрий из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Рассмотрим обратимую систему с двумя степенями свободы пусть М — компактное пространство положений, Т — кинетическая, а V — потенциальная энергия. Все эти объекты считаем аналитическими. [c.153] Теорема 2. Если род поверхности М больше единицы, то и= Ху, где X —аналитическая функция от Н. [c.154] Этот результат формально не вытекает из теоремы 1, поскольку мы не предполагаем аналитичности поля и по координатам 91,92- Доказательство теоремы 2 основано на методе Биркгофа (см. п. 2 2). [c.154] Это очевидное утверждение позволяет свести задачу об аналитическом поле симметрий к задаче о поле симметрий с однородными полиномиальными компонентами. [c.154] Лемма 2. Предположим, что операторы (7.1) и (7.3) коммутируют. Тогда P = Р2 = 0. [c.154] Заключение леммы 2 не зависит, разумеется, от рода поверхности М. [c.154] Лемма 4. Справедливо равенство R z) — 0. [c.155] Действительно, пусть z U) ) — голоморфная функция. Согласно лемме 2 2, имеем R z) = R w z)) w z)) , где m — степень однородного многочлена А. Ру -Ь гРг). [c.155] Род поверхности М больше единицы, поэтому можно применить лемму 3 2, которая утверждает, что R = 0. Что и требовалось доказать. [c.155] Согласно лемме 4 2, Pi = НР[ и Рг = НР2, где Н — интеграл энергии. [c.155] и= Ни . Множитель Н — интеграл уравнений движения, поэтому и также является полем симметрий. Однако его степень по импульсам на две единицы меньше степени т поля и. Индукцией по убыванию т сведем исходную задачу к задаче о наличии однородного поля симметрий степени т = О или т = 1. [c.156] Случай ш = О охватывается леммой 2. При ш = 1, очевидно, Ql = Q2 = 0. Пусть Pj = С Р1 + т]зР2- Как было показано выше, Р = = +Щ — О- Следовательно, = r]j = 0. Поэтому при ш = 1 поле симметрий обращается тождественно в нуль. Теорема 2 доказана полностью. [c.156] Вернуться к основной статье