ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Топологические препятствия к существованию линейных интегралов из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Пусть Н = Т + V — гамильтониан обратимой системы, а Р = = - -Fo — ее линейный интеграл Рк — однородная форма по импульсам степени к). Ясно, что Я, F = Т, А + Т, о + V , Fl здесь слагаемые — однородные формы по импульсам степени 2, 1 и О соответственно. Функции Н и Г коммутируют, поэтому все эти формы равны нулю. Следовательно, Fo = О, а функция — интеграл обратимой системы (более того, — интеграл системы с гамильтонианом Н = Т). [c.150] Эти функции независимы и коммутируют в том и только том случае, когда поля v, . Vk линейно независимы и коммутируют на М. Последнее вытекает из тождества Ff, Fj = у [г ,-, Vj. [c.151] Теорема l[l]- Пусть М —связное, компактное, ориентируемое четномерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т М имеет к (dim М)/2 нез висимых линейных интегралов, находящихся попарно в инволюции, то х(М) 0. [c.152] Из формулы (6.3) следует, что на сфере х = 2) поле симметрий имеет ровно две особые точки, а на торе х = 0) их вообще нет. [c.152] На самом же деле 2Вь не является римановым многообразием, поскольку ds = О на границе Bh. Чтобы избежать этой трудности, надо сначала отступить от края Bh на небольшое расстояние в метрике Мопертюи, а уже затем произвести склейку. Детали доказательства можно найти в работе [1]. [c.153] Вернуться к основной статье