ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Топология пространства положений интегрируемой системы из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Теорема 1 [81]. Если род поверхности М отличен от О и 1 [т. е. М не гомеоморфна сфере и тору Т ), то уравнения (1.1) не имеют первого интеграла, аналитического наТ М и независимого от интеграла энергии. [c.134] Напомним, что аналитические функции считаются независимыми, если они независимы в какой-то точке (тогда они независимы почти всюду). [c.134] В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не справедлива для любой гладкой поверхности М можно указать такой натуральный гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на Т М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно, рассмотрим стандартную сферу в пусть поверхность М получается из приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S . Пусть Н — функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции V = 0) по поверхности М, вложенной в Вне области N точка будет двигаться, очевидно, по большим кругам сферы S . Следовательно, в фазовом пространстве Т М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому произведению D х Т , расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из области D нумеруют эти торы. Пусть f D К — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D. Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т , постоянная на инвариантных торах из х Т. Она продолжается до гладкой функции на всем Т М, если положить F = О вне множества С X Т . Очевидно, что F — первый интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем выборе /) не всюду зависимы. [c.134] Теорема 2. Если род поверхности М не равен О и 1, то при всех Н тах V поток на Eh не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.135] В аналитическом случае условия а), б) выполняются автоматически. При этом свойство б), очевидно, имеет место для всех д е М. Свойство а) нетривиально его доказательство можно найти в работе [233]. [c.135] Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла Г[р,д), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т М, аналитической при фиксированных д Е М на кокасательных плоскостях Т М и имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные гю скоростям функции представляют распространенный пример интегралов, аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все критические точки изолированы или критические точки образуют невырожденные критические многообразия. [c.135] Пример п. 1 не противоречит теореме 3 свойство б) заведомо не выполнено для точек д 6 М, достаточно удаленных от особой области N (и симметричной ей относительно центра сферы). [c.135] В работах [155, 156] указаны также топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия М она не должна содержать коммутативных подгрупп конечного индекса. [c.137] Если гамильтонова система на поверхности Eh h max V) вполне интегрируема и геометрически проста, то справедливы неравенства (1.2). Аналитически интегрируемые системы геометрически просты [155]. [c.137] Вернуться к основной статье