ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория возмущений из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Следовательно, любая 2тг-периодическая по р функция /(/, р, е) в новых канонических переменных J,ф будет 2тг-периодична по ф. [c.122] Если уравнение (10.2) имеет решение, периодическое по р, то Kl J) = ( Hl J, p)d p. Пусть 51 = Sm J)e pг m, p). [c.123] По существу, вековое множество — это множество тех торов невозмущенной интегрируемой задачи, которые распадаются при добавлении возмущения порядка е. В типичной ситуации В всюду плотно в 0 с этим связана хорошо известная трудность — появление малых делителей , препятствующих не только сходимости, но даже формальному построению рядов классической схемы теории возмущений. [c.123] О) = (wi. о ). Можно показать, что при малых мера Лебега дополнения П не превышает величины порядка . Пусть Лд — прообраз множества при отображении J — dHo/dJ. [c.124] Колмогоров [109] доказал, что при малых е ряд (10.5) сходится для всех J е при фиксированном . Доказательство теоремы Колмогорова использует процедуру последовательных приближений ньютоновского типа, впервые предложенную С. Пью-комом в небесной механике прямое доказательство сходимости, основанное на оценке коэффициентов, пока не найдено. [c.124] Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124] О X Т коэффициентами) и удовлетворяющие условиям теоремы, то можно (по крайней мере формально) построить ряды теории возмущений, определенные при J, (р) е О х Т . Докажем это. [c.125] Пусть в = р, д задана система уравнений Р р,я) = с., (1 п), и р, = Л(д,С1. с )—ее решение. Если функции Г . Гп коммутируют (в стандартной симплектической структуре К ), то при фиксированных значениях с = = с1. с ) форма — полный дифференциал. [c.125] В новых канонических переменных J, ф функции Г . Рп зависят лишь от J и е. Эти функции — первые интегралы гамильтоновой системы (10.1) и независимы, поэтому то же самое справедливо для. .., Зп. Следовательно, функция Г амильтона Н не зависит от углов ф, т. е. дН/дф = —3 = 0. Теорема доказана. [c.126] Вернуться к основной статье